قابل استفاده معلم ها و دانش آموزان
مسأله را مي توان به زبان ساده تعريف كرد. هر گاه فردي بخواهد كاري انجام دهد ولي نتواند به هدف خود برسد، برايش مسأله ايجاد مي شود. به عبارت ديگر هر موقعيت مبهم يك مسأله است. حل مسأله نوعي از يادگيري بسيار پيچيده است. مسأله و تلاش براي حل آن جزئي از زندگي هر فرد است. فرآيند برخورد با شرايط زندگي همان مسأله است.
دو ديدگاه متفاوت در آموزش رياضيات نسبت به حل مسأله وجود دارد:
1 - رياضي ياد بدهيم تا دانش آموزان بتوانند مسأله حل كنند.
2- رياضي را با حل مسأله آموزش دهيم.
در ديدگاه اول آموزش رياضي مطابق با محتواي موضوعي است و مفاهيم متفاوتي تدريس مي شوند. انتظار داريم دانش آموزان با استفاده از دانش رياضي خود مسائل متفاوت را حل كنند. اما در ديدگاه دوم آموزش رياضيات از طريق حل مسأله اتفاق مي افتد. يعني دانش آموز مسأله حل مي كند و در ضمن آن محتوا و مفاهيم جديد رياضي را مي سازد، كشف مي‌كند و يا ياد مي گيرد. در حال حاضر، ديدگاه دوم در آموزش رياضيات بيشتر مطرح است. در اين نگاه حل مسأله نقطه تمركز يا قلب تپنده آموزش رياضيات است.
مهارت حل مسأله
اگر از معلمان رياضي سؤال شود كه مشكل اصلي دانش آموزان در درس رياضي چيست؟ به يقين خواهند گفت: آنها در حل مسأله ناتوان هستند. درمطالعه تيمز نيز همين موضوع را شاهد بوديم. چون در اغلب مسأله‌هاي آزمون كتبي اين مطالعه عملكرد دانش‌آموزان پايين است. در واقع مي توانيم بگوييم دانش‌آموزان توانايي يا مهارت حل مسأله را ندارند.
يكي از دلايل اين ناتواني، فقدان طراحي براي آموزش مهارت حل مسأله به دانش آموزان بوده است. يا به عبارتي معلمان به آنها ياد نداده‌اند كه چگونه مسأله را حل كنند. هر گاه دانش‌آموزان با مسأله‌اي روبه‌رو شده و از حل آن عاجز مانده‌اند معلمان تنها به بيان راه حل يا پاسخ مسأله اكتفا كرده‌اند و نگاه‌هاي پرسش گر، كنجكاو و متحير دانش‌آموزان با اين سؤال باقي مانده است: معلم ما چگونه توانست مسأله را حل كند؟ راه حل مسأله چگونه به فكر او رسيد؟ چرا ما نتوانستيم راه حل مسأله را كشف كنيم؟
در خيلي از مواقع معلماني كه سعي كرده اند به طريقي حل مسأله را به دانش آموزان خود ياد دهند، راه را اشتباه رفته اند و آموزش هاي نادرست داده اند. براي مثال به دانش آموزان گفته اند: عددهاي مسأله بسيار مهم اند. زير آن ها خط بكشيد. فراموش نكنيد كه بايد از آن ها استفاده كنيد. همين آموزش نادرست باعث شده است. دانش آموزان اطلاعات مسأله را به خوبي تشخيص ندهند. وقتي مسأله زير براي دانش آموزان كلاس سوم مطرح شد، آن عدد 747 را در عمليات مسأله دخالت دادند و با آن عدد عبارت هاي جمع و تفريق و ... را نوشتند:
«« يك هواپيماي بوئينگ 747 با 237 مسافر در فرودگاه نشست و 130 مسافر را پياده كرد. حالا اين هواپيما چند مسافر دارد؟»»
يا براي دانش‌آموزان گفته اند كه درمسأله بعضي از كلمه‌ها بسيار مهم است. براي مثال اگر كلمه روي هم را ديديد مسئله مربوط به جمع است و اگر كلمه اختلاف را ديديد حتماً بايد تفريق كنيد.
به همين دليل در مسأله زير كه در مطالعه تيمز (2003) آمده بود، عده‌اي از دانش آموزان كلاس چهارم شركت كننده در اين مطالعه به اشتباه افتادند و مسأله را به جاي ضرب، جمع كردند.
« در يك سالن سينما 15 رديف صندلي وجود دارد. در هر رديف 19 صندلي قرار دارد. اين سالن روي هم چند صندلي دارد؟» بهتر است اين روشهاي آموزش نادرست را به كار نبريم و به دنبال طرحي براي آموزش حل مسأله به دانش‌آموزان باشيم.
آموزش حل مسأله
آيا حل مسأله آموزش دادني است؟ يكي از دلايل فقدان طرحي براي آموزش حل مسأله به دانش‌آموزان، اين است كه آموزشگران رياضي تا چندين سال پيش معتقد بودند كه حل مسأله آموزش دادني نيست بلكه يك هنر يا ويژگي و توانايي است كه بعضي از انسا‌ن‌ها دارند و بعضي ندارند. بنابراين هيچ كس تلاش براي حل مسأله به دانش‌آموزان نمي‌كرد. اما تعداد كساني كه درمورد آموزش حل مسأله تحقيق مي‌كنند بيشتر است. يكي از افرادي كه در مورد چگونگي حل مسأله و آموزش آن تحقيق كرد، جرج پوليا است. حاصل كار او در كتاب «چگونه مسأله حل كنيم» منتشر شد. مرحوم احمد آرام اين كتاب را ترجمه كرده است. او در مقدمه كتاب خود مي گويد: « من يك رياضيدان هستم. متخصص آموزش رياضي نيستم، اما علاقه‌مندم بدانم چرا من مي‌توانم مسأله رياضي را حل كنم و ديگران نمي‌توانند؟ چرا بعضي از دانشجويان مسأله رياضي را حل مي‌كنند ولي بعضي نمي توانند؟ او همين سؤال ها را دنبال كرد و مدلي براي تفكر حل مسأله و آموزش راهبردها ارائه كرد. پوليا دو حرف اساسي دارد. 1- مدل چهار مرحله اي براي تفكر حل مسأله 2- آموزش راهبردها كه البته نكته دوم در آموزش اهميت بيشتري دارد.
مدل چهار مرحله‌اي پوليا
فرآيند تفكر حل مسأله براي افراد مختلف متفاوت است. پوليا تلاش كرده تفكر حل مسأله را به نوعي مدل سازي كند. او الگويي چهار مرحله‌اي را مطرح كرده است. در فرآيند حل مسأله اين چهار مرحله چهار گام طي مي‌شوند تا يك مسأله رياضي به طور كامل حل شود. مدل چهار مرحله‌اي او به اين شكل است:
1 - فهميدن مسأله
گام اول حل مسأله فهميدن آن است. اين گام نشان مي‌دهد، مسأله وقتي مسأله است كه نكته‌اي براي فهميدن
داشته باشد. فهميدن مسئله يعني تشخيص داده ها و خواسته هاي آن و درك ارتباط بين آنها. فهم يك مسأله در واقع بخش اصلي فرآيند حل مسأله است. مسأله‌هاي پيچيده حل نمي شوند. چون اغلب در فهم آنها مشكل داريم. اغلب دانش آموزان در فهميدن مسأله اشكال دارند. يكي از دلايل آن اشكال در درك مطلب عبارات صورت مسأله است. معلمان مي‌توانند براي طي كردن اين گام، سؤال‌هاي گوناگوني مطرح كنند به نمونه‌هاي زير توجه كنيد:
داده‌هاي مسأله چيست؟
خواسته‌هاي آن كدامند؟
مسأله را به صورت خلاصه بيان كنيد.
مسأله را به زبان و بيان خود توضيح دهيد و دوباره تكرار كنيد.
مسأله را به صورت نمايشي اجرا كنيد.
مسأله را با شكل‌ها و يا اشياء مدل سازي كنيد.
آيا معني واژه‌ها، لغات و اصطلاحات به كار رفته در مسأله را مي‌دانيد؟
سؤال‌ها و توصيه‌هايي از اين دست كمك مي كنند، دانش‌آموز در مورد مسأله بهتر فكر كند و معلمان نيز مطمئن شوند كه آنها مسأله را درك كرده‌اند.
2- طرح ريزي كردن
در اين طرح مسأله از ابعاد متفاوت رياضي بررسي مي‌شود. يعني تعيين اين كه مسأله به كدام يك از شاخه‌هاي هندسه، كسر، جبر، و ... مربوط است. چگونه مي‌توان آن را مدل سازي كرد؟ كدام روش يا راهبرد براي حل آن مناسب‌تر است؟ در اين مرحله ممكن است مجبور شويم به گام فهميدن برگرديم و اين افت و برگشت تا پيدا كردن يك راه حل مناسب ادامه مي‌يابد. در آموزش ابتدايي آن چه بيشتر از همه براي دانش‌آموزان معني دارد، تشخيص روش يا راهبرد مناسب براي حل مسأله است. به همين دليل اين گام را به انتخاب راهبرد مي‌شناسيم. راهبرد يعني يك روش يا
راه حل عام كه در بسياري از مسائل كاربرد دارد. آموزش راهبردهاي حل مسأله، در واقع مهم‌ترين بخش حل مسأله است كه براي آموزش هنر حل مسأله راهي به دانش آموزان نشان مي‌دهد و آشكار مي‌سازد.
3 - حل مسأله
در گام سوم، وقتي راهبرد مناسب براي حل مسأله مشخص شد، به حل آن اقدام مي كنيم، هنگام حل مسأله ممكن است به اين نتيجه برسيم كه راهبرد انتخاب شده مناسب نيست و به حل مسأله منجر نمي شود. بنابراين بايد به گام دوم برگرديم و راهبرد تغيير دهيم. يا حتي مجبور شويم براي فهميدن بخش‌هايي از مسأله به گام اول برگرديم.
حل مسأله صرفاً نوشتن عمليات و عبارت‌هاي رياضي نيست، گاهي با انتخاب راهبرد، رسم شكل و كشيدن يك شكل مناسب مسأله به طور كامل حل مي‌شود و ديگر نيازي به نوشتن عمليات نيست. يا حدس زدن پاسخ مسأله و آزمايش آن، خواسته مسأله را مشخص مي‌كند. در حالي كه عمليات و راه حل مستقيمي براي رسيدن به جواب ننوشته ايم.
4 - نگاه به عقب
گام چهارم را اغلب دانش‌آموزان و معلمان طي نمي‌كنند. به عبارت ديگر پيدا كردن پاسخ و حل رياضي مسأله را پايان كار مي‌دانند در حالي كه در فرآيند حل مسأله گام نگاه به عقب اهميت زيادي دارد. اين مرحله جلوه‌ها و معني‌هاي متفاوتي دارد. تفسير و ترجمه جواب رياضي مسأله در دنياي واقعي، بررسي منطقي بودن پاسخ و اين كه جواب به دست آمده همان خواسته مسأله است يا نه بررسي صحت عمليات انجام شده بررسي مجدد مراحل مسأله، تطبيق شرايط مورد نظر مسأله با پاسخ به دست آمده، بررسي مسأله با يك راهبرد يا راه حل ديگر و در نظر گرفتن ساير حالت‌ها و شرايط براي مسأله، نمونه‌هايي از كارهايي هستند كه مي‌توان در گام آخر انجام داد.
راهبردهاي حل مسأله
چند نكته:
1 - زماني كه آموزش يك راهبرد مورد نظر است، از دانش‌آموزان مي‌خواهيم، مسأله‌هاي داده شده را فقط با همان راهبرد مورد نظر حل كنند تا با آن به طور كامل آشنا شوند. اما با گذشتن از آموزش راهبردها درهنگام حل مسأله آنها مي‌توانند از هر راهبردي كه مايل هستند مسأله را حل كنند. به اين ترتيب، يك مسأله مي‌تواند با راهبردهاي متفاوت در كلاس حل شود. در صورتي كه اين اتفاق دركلاس بيفتد باعث خوشحالي و سربلندي معلم خواهد شد.
2 - آموزش راهبرد يعني فراهم كردن شرايط و موقعيتي كه دانش‌آموز درك كند، راهبرد مورد نظر براي حل مسأله كارآيي دارد.
3 - تعداد راهبرد زياد است اما آموزش تعداد زيادي راهبرد به دانش‌آموزان طبق تحقيقات انجام شده مناسب نيست. زيرا مانع تفكر و خلاقيت دانش‌آموز خواهد شد. در اين جا چند راهبرد بررسي مي‌شوند:
الف: راهبرد رسم شكل: طبيعي‌ترين راهبردي كه به ذهن دانش آموز مي رسد رسم شكل است. بسياري از مسائل با كشيدن شكل مناسب يا مسأله به طور كامل حل يا راه حل آنها آشكار مي‌شود. اغلب معلمان اين راهبرد (راه حل) را در حل مسأله‌ها از دانش‌آموزان نمي‌پذيرند به همين دليل اين راهبرد طبيعي كم‌كم كنار گذاشته مي‌شود. مثال زيرنشان مي‌دهد، چگونه مي‌توان از اين راهبرد در حل مسأله‌اي استفاده كرد.
(( در يك مزرعه 20 مرغ وگاو وجود دارد . تعداد پاهاي آنها 56 عدد است. چند مرغ و چند گاو در اين مزرعه وجود دارند؟ )) اين مسأله با استفاده از راهبردهاي رسم شكل، با اطلاعات دانش‌آموزان كلاس دوم دبستان قابل حل است.
- ابتدا 20 دايره به جاي سرها مي‌كشيم. براي هر كدام 2 خط (2پا) درنظر مي‌گيريم تا اين جا مي‌شود 40 پا، 16 پاي باقيمانده را با اضافه كردن 2 تا 2 تا رسم مي‌كنيم.
ب) راهبردهاي زير مسأله: مسأله‌هاي پيچيده و چند هدفي معمولاً از چند مسأله ساده تشكيل شده‌اند. گاهي حل يك مسأله و يا زنجيره‌اي از زير مسأله‌ها به حل مسأله اصلي منجر مي‌شوند. تشخيص زير مسأله‌ها و حل آنها، راهبرد مهمي براي حل مسأله‌هاي تركيبي است. مسأله زير با استفاده از اين راهبرد حل شده است:
«رضا 37 عدد گردو جمع كرده است. تعداد گردوهاي علي 17 تا بيشتر از اوست . اين دو نفر روي هم چند گردو جمع كرده اند؟»
اين مسأله در واقع از دو مسأله كوچك تشكيل شده است كه با حل آنها مي‌توان پاسخ را پيدا كرد.
1- تعداد گردوهاي علي چند تا است؟
2 - تعدادگردوهاي رضا و علي روي هم چند تاست؟
پس
1- تعداد گردوهاي علي 54=14+37
2 - تعداد گردوهاي رضا و علي 91=37+54
در اين راهبرد، دانش‌آموزان بايد ياد بگيرند، چگونه زير مسأله‌ها را تشخيص دهند. آنها را جداگانه بنويسند و سپس به حل تك‌تك آنها اقدام كنند.
ج) راهبرد حل مسأله ساده‌تر: گاهي مسأله پيچيدگي‌هايي دارد كه نمي‌توان آن را به راحتي حل كرد. اما وقتي آن را ساده مي‌كنيم، يا حل و يا روش حل آن ظاهر مي‌شود. وقتي مسأله درحالت ساده‌تر بررسي شد يا يك الگو‌يابي مي‌توان آن را به حالت كلي تعميم داد. ساده كردن عددها و داده‌ها نيز بخشي از اين راهبرد است. در مسأله زير با ساده كردن عددها مي‌توان به راه حل نزديك شد.
«در يك كارخانه، لوله‌هايي به طول متر توليد مي‌شود. در يك روز 244 عدد لوله توليد شده است. در اين روز چند متر لوله توليد شده است؟ »
شكل ساده شده مسأله چنين است: يك كارخانه لوله‌هايي به طول 2 متر توليد مي‌كند. اگر 200 عدد لوله توليد شود، چند متر لوله توليد شده است؟ يعني با تغيير دادن عددها و ساده كردن آنها، مي‌توان به راه حل مسأله كه ضرب است نزديك شد.
د) راهبرد حذف حالت نامطلوب: وقتي از تمام حالت‌هاي ممكن پاسخ يك مسئله و با استفاده از داده‌ها، فرض‌ها و اطلاعات مسأله حالت‌هاي نامطلوب يكي‌يكي يا دسته دسته حذف مي‌شوند، خود را به پاسخ نزديك مي‌كنيم. حذف حالت‌هاي نامطلوب، يعني كنار گذاشتن حالت‌هايي كه با شرايط و فرضيات مسأله تطبيق نداند تا رسيدن به پاسخ و حالت مطلوب كه مورد نظر مسأله است. به مثال زير توجه كنيد.
يك بازي دو نفره به اين صورت انجام مي‌شود كه يك نفر عددي بين 1 تا 100 در ذهن خود مجسم مي‌كند. نفر بعد با سؤال كردن از او، به طوري كه فقط پاسخ بلي يا خير بشنود، بايد به عددي دست يابد كه در ذهن نفر اول است. سؤال آيا اين عدد دو رقمي است مناسب نيست چون اگر پاسخ مثبت باشد، فقط 9 عدد (حالت نامطلوب) حذف مي‌شود و 90 عدد ديگر باقي مي‌ماند.
سؤال آيا اين عدد زوج است، مناسب است، چو در هر صورت يعني از حالت‌ها حذف مي‌شوند. بهترين سؤال براي شروع اين است: آيا اين عدد بين 1 تا 50 قرار دارد؟ به اين ترتيب نيمي از حالت‌ها حذف مي‌شوند. اگر پاسخ مثبت بود، سوال بعدي اين است كه آيا عدد بين 1 تا 25 است؟ به همين ترتيب، با نصف كردن، عددهاي نامطلوب كم كم حذف مي شوند تا به عدد مورد نظر دست يابيم.
منابع :
- عباس زادگان، سيد محمد، ارائه الگويي در برنامه درسي رياضيات جديد، فصلنامه تعليم و تربيت، شماره 4، سال 1364، ص 37.
- گروه رياضي كاربردي، واژه نامهٌ رياضي، انتشارات جهاد دانشگاهي صنعتي شريف، چاپ پنجم، تير 1369.
- شیخ‌زاده، مصطفی و مهر محمدی، محمود 1383، نرم‌افزار آموزشی ریاضی ابتدایی بر اساس رویکرد سازنده گرایی و سنجش میزان اثر بخشی آن، نوآوری‌های آموزشی، سال سوم، شماره 9.
+ نوشته شده در یکشنبه سی ام مهر 1391ساعت 9:53 توسط ابراهیم فرمانی شجاعت | نظر بدهید کاربرد رياضي در زندگي
کاربرد رياضي در زندگي
بسيار پيش مي آيد که دانش آموزان پس از تدريس يک درس ، از ما مي پرسند که اين درس که امروز خوانديم ،به چه درد ما مي خورد؟و کجامي توانيم ازآن استفاده کنيم ؟
رياضيات به عنوان يک درس اصلي است که داشتن درک درست از آن در آينده ي تحصيلي دانش آموزان و طبعاً پيشرفت علمي کشور نقش مهمي دارد . همچنين شامل کليه ارتباطات رياضي با زندگي روزمرّه ، ساير علوم و کاربرد هايي در زندگي علمي آينده ي دانش آموزاست .به اين ترتيب دربرنامه درسي و آموزشي ، برقرار کردن پيوند رياضي ات با کاربرد هايش در زندگي و ساير علوم از قبيل :هنر،علوم طبيعي ،علوم اجتماعي و . . . . بايد مدّ نظر قرار گيرد . در صورتي که اين موارد در آموزش ديده نشود ، اين سؤ ال هميشه در ذهن دانش آموز باقي مي ماند که:
« به چه دليل بايد رياضي خواند ؟ » و« رياضي به چه درد مي خورد ؟ »
بين رشته هاي علمي ، که بشر در طول هزاران سال به وجود آورده ، رياضي جاي مخصوص و ضمناٌ مهمّي را اشغال کرده است . رياضيات با علوم فيزيک ، زيست شناسي ، اقتصاد و فنون مختلف فرق دارد . با وجود اين به عنوان يکي از روشهاي اصلي در بررسيهاي مربوط به کامپيوتر ، فيزيک ، زيست شناسي ، صنعت واقتصاد به کار مي رود ودرآينده بازهم نقش رياضّيات گسترش بيشتري مي يابد.
با وجود اين مطلب ، براي آموزش جوانان هنوز از همان روشي استفاده مي شود که سقراط و افلاطون ، حقايق عالي اخلاقي را براي شيفتگان منطق و فلسفه و براي علاقمندان سخنوري و علم کلام بيان مي کردند . در حقيقت در درسهاي حساب ، هندسه و جبر ،هرگز لزوم يادگيري آنها براي زندگي عملي خاطر نشان نمي شود. هرگز از تاريخ علم صحبتي به ميان نمي آيد. نظريه هاي سنگين علمي ، ولي هيچ نتيجه اي جز اين ندارد که دانش آموزان را از علم بري کند و عدّه ي آنها را تقليل دهد .
يکي ازراههاي جدي براي حلّ مسئله توجه به تاريخ علم، گفتگو در باره ي مردان علم و ارتباط رياضي با عمل است ، ارتباطي که در تمام دوران زندگي بشر هرگز قطع نشده است .
● کاربرد ارقام
در زمانهاي قديم هر قدمي که در راه پيشرفت تمدّن برداشته مي شد، بر لزوم استفاده از اعداد مي افزود . اگر شخصي گله اي از گوسفندان داشت ، مي خواست آن را بشمرد ،يا اگر مي خواست معبد يا هرمي بسازد ، بايد مي دانست که چقدر سنگ براي آن لازم دارد . اگر داراي زمين بود ، مي خواست آن رااندازه گيري کند . اگر قايقش را به دريا مي راند ، مي خواست فاصله ي خود را از ساحل بداند . و بالاخره در تجارت و مبادله ي اجناس در بازارها ، بايد ارزش اجناس حساب مي شد.هنگامي که آدمي محاسبه با ارقام را آموخت ، توانست زمان ، فاصله مساحت ، حجم را اندازه گيري کند . با بکار بردن ارقام ، انسان بردانش و تسلّط خود بر دنياي پيرامونش افزود .
براي ما بسيار ساده مي کند .
● کاربرد تقارنها (محوري و مرکزي ) و دَوَرانها
مباحث تقارنها ودورانها که به تبديلات هندسي معروف هستند،درصنعت و ساختن وسائل و لوازم زندگي استفاده مي شوند . مثلاً در بافتن قالي و براي دادن نقش و نگار به آن از تقارن استفاده مي شود . در کوزه گري و سفالگري از دوران محوري استفاده مي - شود . همچنين در معماريهاي اسلامي اغلب از تقارنها کمک گرفته مي شود . چرخ گوشت ، آب ميوه گيري ، پنکه ، ماشين تراش ُ بادوراني که انجام مي دهند ، تبديل انرژي مي کنند . علاوه بر آن تبديلات هندسي براي آموزش مطالبي از رياضي استفاده مي شوند ،مانند : مفهوم جمع و تفريق اعداد صحيح با استفاده از بردار انتقال موازي محور.
● کاربرد مساحت
مفهوم مساحت و تکنيک محاسبه مساحت اشکال مختلف ، از اهمّ مطالب هندسه است .به سبب کاربرد فراواني که در زندگي روزمرّه مثلاً براي محاسبه ي مساحت زمينها با اَشکال مختلف . و همچنين درفيزيک و جغرافياوساير دروس دانستن مساحتهالازم به نظرمي رسد .
.کاربرد چندضلعي ها
شناخت چهار و و دانستن خواص آنها ، براي يادگيري مفاهيم ديگر هندسه لازم است و ضمناً در صنعت و ساخت ابزار و وسائل زندگي و همچنين براي ادامه تحصيل وهمين طور در بازار کار نياز به دانستن خواص چهارضلعيها احساس مي شود .
● کاربرد آمار و ميانگين
وقتي کسي از مقادير عددي کمک مي گيرد ، تا يک موقعيّت را توضيح دهد ، او وارد قلمرو آمار شده است . آمار معمولاً اثر تعيين کننده اي دارد . اگر چه ممکن است مفيد يا گمراه کننده باشد . ما عادت کرده ايم، که پديده هاي زيادي نظيرموارد زير را با توجه به آمار ، پيش بيني کنيم :
احتمال پيروزي يک کانديداي رياست جمهوري،وضعيت اقتصادي(تورم،در آمد ناخالص ملي ، تعداد بيکاران ،کم وزيادشدن نرخ بهره هاونرخ سهام ، بازار بورس ، ميزان بيمه ، آمار طوفان،جذر و مد) و غيره .
قلمرو آمار به طور مرتب درحال بزرگ شدن است.آمار مي توانددر موارد زيادي ، براي قانع کردن مردم و يا انصراف آنهااز يک تصميم موءثّر باشد . به عنوان مثال : اگر افراداحساس کنند که رأي آنها نتيجه ي انتخابات را تغيير نخواهد داد ، ممکن است ازشرکت در انتخابات صرفنظر کنند .
در عصر ما آمار ابزار قوي و قانع کننده است،مردم به اعدادمنتشر شده ي حاصل از آمار گيري ،اعتماد زيادي نشان مي دهند.
به نظر مي رسد وقتي يک وضعيت وموقعيت باتوسل به مقادير عددي توصيف مي شود ، اعتبار گزارش در نظر مستمعين بالا مي رود .
● مقاطع مخروطي
در هواي گرم بستني بسيار خوشمزه ودلچسب است .بخصوص اگر بستني قيفي داشته باشيد ودر حالي که روي يک صندلي و در سايه درختي نشسته باشيد و فارغ از جار و جنجال روزگار ، به خوردن بستني مشغول باشيد. شايد همه چيز از ذهن شما بگذردمگرهمان بستني قيفي که مشغول خوردن آن هستيد .
اين مطلب توجه يک رياضيدان بلژيکي خوش ذوق رابه خودجلب کرد و آن رابراي توضيح يکي ازمطالب مهم رياضي [يعني مقاطع مخروطي]بکار برد . واقعاً جالب است مگه نه ؟
مقاطع مخروطي يکي از مباحث مهم و کاربرد ي در رياضيات بوده وهست .
..................................................
منبع : niazemarkazi
+ نوشته شده در پنجشنبه هجدهم فروردین 1390ساعت 21:23 توسط ابراهیم فرمانی شجاعت | نظر بدهید آموزش ریاضی در دوران کودکی هرگاه کودکان واقعیت های محیط پیرامون خود را به طریقه ای مناسب تجربه کنند ریاضی را درسی ناشناخته صرفا نظری و کاملا مغایر زندگی خود احساس نمی کنند. چنین احساسی در آن هنگام به ذهن آن ها خطور می کند که این درس را به شکلی سخت و صرفا مجرد آموزش دهند .
غالب اوقات آنچه در یادگیری ریاضی ایجاد اشکال می کند درس ریاضی نیست بلکه نحوه تدریس آن است . + نوشته شده در یکشنبه چهاردهم فروردین 1390ساعت 11:22 توسط ابراهیم فرمانی شجاعت | نظر بدهید هنر حل مساله
استراتژی جورج پولیا در حل مساله:
پولیا می گوید : روند حل مساله عبارت است از :" جستجوی راه خروج از دشواری ها یا مسیر عبور از مانع ها " .
پولیا مراحل حل مساله را که شامل چهار مرحله است به صورت زیر بیان می کند :
۱) فهم مساله
۲) تهیه طرح یا نقشه مناسب برای حل مساله
۳) اجرای طرح یا نقشه
۴) بازنگری
۱- فهم مساله : برای حل مساله ابتدا باید صورت مساله را خوب درک کرد . پس اولین وظیفه برای حل یک مساله , فهم درست و کامل یک مساله است . پولیا معتقد است برای حل یک مساله باید موارد زیر به خوبی روشن شود :
الف) چه چیزی را باید پیدا کرد ؟ ( مجهول چیست ؟)
ب) چه چیزی مفروض است ؟( معلومات چیست ؟)
ج) چه رابطه ای بین مجهولات و معلومات موجود است ؟
۲- تهیه طرح یا نقشه برای حل مساله : ممکن است برای حل یک مساله چندین راه موجود باشد اما باید به دنبال طرحی بگردیم که ما را مستقیما به هدف برساند . درین راه می توان از مسایل کمکی نیز استفاده کرد .
کهلر آزمایشی انجام داده است به این ترتیب که : میمونی را در اتاقکی قرار می داد و در بیرون اتاقک موزی وجود داشت که دست میمون به آن نمی رسید , جانور با جدیت می کوشید تا به موز بیرون اتاقک دست یابد ولی بی نتیجه بود . در محدوده ای که دست او می رسید قطعه چوبی بود که جانور ظاهرا هیچ توجهی به آن نداشت ناگهان میمون چوب را برداشت و موز را حرکت داد و آن را خورد . حیوان برای برداشتن موز , از مساله ای دیگر که همان برداشتن قطعه چوب است استفاده کرد که به این مساله , " مساله کمکی یا فرعی " می گویند . با حل این مساله , پیدا کردن راه حل مساله هموار می گردد.
۳- اجرای طرح یا نقشه : پس از تهیه طرح باید آنرا به اجرا گذاشت . نکته اساسی این است که شخص نظارت کامل بر پیشرفت اجرای طرح داشته باشد تا اگر زمانی احساس کرد که ممکن است او را به حل مساله نرساند بتواند طرح جدیدی را تهیه و اجرا کند .
۴- بازنگری : پس از اتمام مرحله اجرا , حل کننده مساله باید یک بازنگری بر تمامی مراحل داشته باشد و جوابها و برهان ها را امتحان کند .
(( اگر می خواهید شنا یاد بگیرید با شجاعت وارد آب شوید و اگر می خواهید مساله ها را یاد بگیرید آنها را حل کنید . ))
جورج پولیا
+ نوشته شده در جمعه هفدهم دی 1389ساعت 21:44 توسط ابراهیم فرمانی شجاعت | نظر بدهید حل مساله
دانشمندان اسپانیایی با انجام بررسی هایی دریافتند که اگر مسأله های ریاضی را با صدای بلند بخوانیم آسان تر حل می شوند و اگر تکالیف دشوار ریاضی با صدای بلند خوانده شوند می توان به راه حل صحیح آن ها به روشی ساده تر دست یافت و فکرکردن با صدای بلند به حل سریع تر مسأله های ریاضی کمک می کند .هم چنین این دانشمندان مشاهده کردند کشیدن شکل های مرتبط با مسأله های ریاضی می تواند برای یافتن راه حل درست مفید باشد ،زیرا این شکل ها در واقع نمادی گرافیکی از مسأله هستند .نتایج این تحقیقات تأیید می کند که نمادها نقش مهمی در فکر کردن به ریاضـی ایفا می کنند و به درک بهتر مفاهیم ریاضی کمک کرده و با تحریک فکر ، آن را برای رسیدن به راه حل مسائل یاری می دهند . + نوشته شده در جمعه هفدهم دی 1389ساعت 21:38 توسط ابراهیم فرمانی شجاعت | نظر بدهید اهداف آموزش ریاضی
اهداف آموزش ریاضی
شاید مناسب باشد در زمانی که ریاضی دانان در دانشگاه ها و مؤسسات عالی، تصمیمات مهمی را درباره برنامه ریاضی مدرسه ای می گیرند، حرف های پروفسور جورج پولیا را بشنویم. جورج پولیا، ریاضی دان و استاد برجسته دانشگاه استانفورد بود که اثرات مهمی در توسعه نظریه احتمالات، نظریه اعداد، نظریه توابع و حساب تغییرات به وجود آورده است. او مؤلف و به وجود آورنده آثار ماندگاری هم چون: چگونه مسأله را حل کنیم، ریاضیات و استدلال های محتمل و خلاقیت ریاضی می باشد. این آثار، دانشجویان را تشویق و ترغیب کرد تا مسأله حل کن، اندیشمند و مستقل شوند. او عضو افتخاری فرهنگستان مجارستان، جامعه ریاضی لندن، جامعه ریاضی سوئیس، و عضو فرهنگستان ملی علوم آمریکا، فرهنگستان علم و هنر آمریکا و شورای ریاضیات کالیفرنیا، و عضو فرهنگستان علوم پاریس بود.
ما دو نوع هدف در مدارس داریم، هدف های خوب و هدف های محدود. مدارس باید افراد بزرگسالی را که واجد شرایط کار و استخدام هستند تربیت کنند، بزرگسالانی که می توانند جای یک شغل خالی را پر کنند. اما هدف متعالی تر، توسعه تمام منابع درونی کودک در حال رشد به گونه ای است که بتواند شغلی به دست آورد که برای او مناسب ترین باشد. پس مجددا تأکید می کنم که هدف متعالی تر، توسعه تمام منابع درونی کودک است.
بخش اول
میخواهم با شما درباره تدریس ریاضی در مدارس ابتدایی صحبت کنم. در واقع، حرف های من شامل دو بخش خواهد بود. در بخش اول درباره اهداف تدریس ریاضی در مدارس ابتدایی صحبت می کنم، و در بخش دوم، به چگونگی تدریس ریاضی می پردازم.
تدریس، یک علم نیست، بلکه یک هنر است. اگر تدریس یک علم بود، بهترین روش تدریس وجود داشت و همه باید مانند آن، تدریس می کردند. اما چون تدریس یک علم نیست، آزادی عمل بسیار و احتمال بیش تری برای تفاوت های شخصی وجود دارد.
حال درباره تدریس ریاضی چه می توان گفت؟ تدریس ریاضی در مدارس ابتدایی، یک هدف خوب و محدود را دنبال می کند که کاملاً واضح و آشکار است. یک فرد بزرگسال کاملا بی سواد، قابل استخدام شدن در یک جامعه مدرن نیست. هر کسی تا حدودی، باید بتواند بخواند، بنویسد و حساب کند و شاید هم باید اندکی بیش تر از این ها بداند. در نتیجه، هدف خوب و محدود مدارس ابتدایی، تدریس مهارت های حسابی، یعنی جمع، تفریق، ضرب، تقسیم و شاید کمی بیش تر از این ها، و هم چنین، تدریس کسرها، درصدها، نسبت ها، و شاید بیش تر از اینهاست. هر کسی باید تا حدودی بداند که چگونه می توان طول، مساحت و حجم چیزی را اندازه گرفت. این هدف خوب و محدود مدارس ابتدایی است، یعنی انتقال این دانش و هرگز نباید این را فراموش کنیم.
با این حال، یک هدف متعالی تر هم داریم. می خواهیم که تمام منابع کودک در حال رشد را پرورش دهیم، و نقشی که ریاضی بازی می کند، بیش تر درباره تفکر است. ریاضی یک مکتب تفکر است. اما تفکر چیست؟ برای مثال، تفکری که می توانید در ریاضی یاد بگیرید این است که از پس تجرید برآیید. ریاضی درباره اعداد است. اعداد یک تجرید هستند.وقتی یک مسأله عملی را حل می کنیم، از آن مسأله عملی، ابتدا باید یک مسأله انتزاعی درست کنیم. ریاضی مستقیماً در تجرید کاربرد دارد. قسمتی از این ریاضیات، باید کودک را قادر سازد که حداقل، با تجرید رودررو شود و از عهده ساختارهای انتزاعی برآید. در حال حاضر، ساختار، یک کلمه مورد پسند است.
شما باید تمام شخصیت دانش آموز را پرورش دهید و تدریس ریاضی به خصوص، باید تفکر را پرورش دهد. هم چنین تدریس ریاضی می تواند شفافیت و مداومت را توسعه دهد. اگر چه ریاضی می تواند تا حدودی، منش را پرورش دهد، اما مهم ترین نقش آن، توسعه تفکر است.
اما نکته ای هست که حتی از این هم مهم تر است. همان طور که می دانید، ریاضی یک ورزش بدون تماشاگر است. فهمیدن ریاضی به معنی انجام دادن ریاضی است، اما انجام دادن ریاضی به چه معنی است؟ در وهله اول، انجام دادن ریاضی یعنی توانایی حل مسایل ریاضی. برای اهداف متعالی تر، تعدادی شیوه های عمومی برای مسایل وجود دارد، داشتن یک طرز فکر و تلقی صحیح نسبت به مسایل و توانایی حمله به همه نوع مسأله، نه فقط مسایل خیلی ساده که با مهارت های کسب شده در مدارس ابتدایی قابل حل هستند، بلکه مسایل پیچیده تر مهندسی، فیزیک و غیره که در دبیرستان، گسترده تر خواهند شد. اما مبانی آن، می تواند از مدارس ابتدایی شروع شود. به این ترتیب، نکته اساسی در مدارس ابتدایی، آشنا کردن کودکان با تاکتیک های حل مسأله است، نه این که این نوع مسأله یا آن نوع مسأله را حل کنند و یا این که تقسیمات متوالی و مانند آن را انجام دهند، بلکه به این معنا که یک طرز تلقی عمومی برای حل مسأله در کودکان ایجاد کنیم.
بخش دوم
چون تدریس یک علم نیست، آزادی عمل بسیار و احتمال بیش تری برای تفاوت های شخصی وجود دارد. در یک دست نوشته قدیمی بریتانیایی، جمله زیر وجود داشت، " موضوع هر چه باشد، آن چه که معلم واقعا درس می دهد، مختص خودش است. "
به تعداد معلمان خوب، تدریس های خوب وجود دارد. شاید اولین نکته ای که همگان قبول دارند، این باشد که تدریس باید فعال باشد، یا به عبارت صحیح تر، یادگیری باید فعال باشد، که این، اصطلاح بهتری است.
شما نمی توانید تنها به وسیله خواندن، یاد بگیرید. نمی توانید تنها با گوش کردن به سخنرانی ها، یاد بگیرید. نمی توانید تنها با نگاه کردن به فیلم ها، چیزی یاد بگیرید. شما باید از عمل و ذهن خود چیزی به آن ها اضافه کنید تا یاد بگیرید. می توانید این روش را روش سقراطی بنامید، چرا که در دو هزار سال پیش، سقراط می گفت که فکر و ایده، باید در ذهن دانش آموز زاده شود و معلم باید به عنوان یک ماما عمل کند .اندیشه باید در ذهن دانش آموز به صورت طبیعی زاده شود و ماما نباید زیادی و پیش از موعد مقرر دخالت کند. اما اگر وضع حمل طول بکشد، ماما باید دخالت کند. این یک اصل بسیار قدیمی است و یک اسم مدرن برای آن وجود دارد؛ روش اکتشافی. دانش آموز به وسیله عمل، خودش یاد می گیرد. مهم ترین عمل، نوعی از یادگیری است که خود، آن را کشف کنید. این مهم ترین قسمت تدریس خواهد بود. یعنی اگر شما خودتان چیزی را کشف کنید، آن یادگیری ماندگارتر است و درک آن نیز، عمیق تر است.
اصول دیگری هم برای تدریس وجود دارد. اگر شما کلمه اصول را دوست ندارید، از واژه " قوانین سرانگشتی" استفاده کنید. یادگیری باید فعال باشد. اصل دیگری که به وسیله تمام مربیان بزرگ و معروف؛ به وسیله سقراط، افلاطون، کمنیوس، مونته سوری گفته شده است، وجود اولویت های خاص است. برای مثال، اشیا قبل از کلمات ظاهر می شوند و نظایر آن. این جمله بارها و بارها و در اشکال مختلف، بیان شده است. اما اجازه دهید از کانت نقل قول کنم که گفت: " تمام شناخت انسان، با شهود آغاز می شود، سپس به فهم و درک منجر شده و بالاخره به ایده ها ختم می شود. یادگیری با عمل و آگاهی شروع می شود، به کلمات و مفاهیم می رسد و باید به عادت های ذهنی خوب،ختم شود.
این، هدف عمومی تدریس ریاضی است، توسعه عادت های ذهنی خوب در هر دانش آموز تا حد امکان، به طوری که از پس هر نوع مسأله برآید.
پس " می شنوم و فراموش می کنم." چیزهایی که فقظ می شنوید، سریع فراموش می کنید. نصیحت خوب، به سرعت فراموش می شود. چیزهایی که با چشمان خودتان می بینید، بهتر به خاطر آورده می شود، اما وقتی که آن را با دست های خودتان انجام می دهید، واقعاً آن را درک می کنید. بنابراین، شعار این است که: " می شنوم و فراموش می کنم. می بینم و به خاطر می آورم. انجام می دهم و می فهمم"
شما باید تمام شخصیت دانش آموز را پرورش دهید و تدریس ریاضی به خصوص، باید تفکر را پرورش دهد. هم چنین تدریس ریاضی می تواند شفافیت و مداومت را توسعه دهد. اگر چه ریاضی می تواند تا حدودی، منش را پرورش دهد، اما مهم ترین نقش آن، توسعه تفکر است.
نظر من این است که مهم ترین قسمت تفکر که در ریاضی پرورانده می شود، طرز تلقی صحیح در برخورد با مسأله ها و دست و پنجه نرم کردن با آن هاست. مسایلی در زندگی روزانه داریم. مسایلی در علوم داریم. مسایلی در سیاست داریم. همه جا مسایلی داریم. طرز تلقی صحیح نسبت به تفکر، ممکن است از حیطه ای به حیطه دیگر متفاوت باشد، با این حال، ما فقط یک سر داریم، و بنابراین، طبیعی است که بالاخره، باید فقط یک روش برای دست و پنجه نرم کردن با انواع مسایل وجود داشته باشد.
نظر شخصی من این است که نکته اصلی در تدریس ریاضی، رشد و توسعه تاکتیک های حل مسأله است.
در تمام جهت گیری های تدریس ریاضی که اکنون موسوم هستند و تأثیر گذار هم می باشند، دو اصل یادگیری فعال، اولویت عمل و آگاهی، مورد توجه قرار گرفته اند.
بنابراین امروز، مدارس مخصوصاً مدارس ابتدایی، در حال تطور و تکامل هستند. در حال حاضر، درصد قابل توجهی، حدود ده تا بیست درصد مدارس، روش جدیدی برای تدریس دارند که می توان در مقایسه با روش قدیمی تدریس، ویژگی های آن را به صورت زیر بیان کرد: شیوه قدیمی تدریس، آمرانه و معلم محور است، شیوه جدید تدریس، منعطف و دانش آموز محور است. در زمان های قدیم، معلم در مرکز یا جلوی کلاس بود. همه به او و چیزی که می گفت، نگاه می کردند. امروزه، تک تک دانش آموزان باید در مرکز کلاس باشند، و باید اجازه داشته باشند که هر ایده خوبی را که به ذهنشان می رسد، انجام دهند. باید به آن ها اجازه داد تا این ها را به روش خودشان و به تنهایی یا در گروه های کوچک، دنبال کنند. اگر در بحث کلاسی، دانش آموزی ایده جالبی داشت، در آن صورت، معلم برنامه خود را عوض می کند و وارد آن ایده خوب می شود و پس از آن، کلاس، آن ایده را ادامه می دهد.
در یک چنین کلاس منعطف و دانش آموز محوری، هر گروه از بچه ها کار متفاوتی انجام می دهد. آن ها بازی می کنند ( آن ها فکر می کنند که بازی می کنند، اما در واقع در حال یادگیری هستند. )
معلم به آن ها مواد مختلف می دهد. مدت زمان کلاس، شامل دادن مواد گوناگون به بچه هاست. آن ها بازی می کنند و ایده های خود را در حین بازی، رشد و توسعه می دهند. برای مثال، یکی از این مواد، کاغذ شطرنجی و تعداد قابل توجهی مکعب است، تعداد بسیار زیادی مکعب هایی به ضلع نیم اینچ، شاید صد دوجین. به این ترتیب، بچه ها با آن ها بازی می کنند. این تدریس، همراه با فعالیت است، تدریس به وسیله عمل و آگاهی.
یک نمونه برای این فعالیت: کلاس درباره مستطیل های کوچک بحث می کند. نکته اصلی این است که مستطیل باید توسط عمل و تصور فهمیده شود.
درک مفهوم مستطیل باید از چیزهایی که بچه ها قبلاً به قدر کافی دیده و لمس کرده اند، حاصل شود. مثلا، همه بچه ها یک اتاق را دیده اند و دیوارهای یک اتاق معمولی، مستطیل یا تقریباً مستطیل شکل هستند. پس بچه ها یاد می گیرند که مستطیل چیست. کف یک اطاق معمولی مستطیل است. هر دیواری یک مستطیل است. سقف اطاق به شکل مستطیل است. درنتیجه، یکی از اهداف خوب تدریس، درک مفهوم طول و مساحت است. طول مستطیل ها را اندازه می گیرند و به مفهوم محیط مستطیل میرسید. سپس به مسأله مساحت مستطیل ها می پردازید. مستطیل ها را از مربع های برابر،می سازید و به ایده مساحت می رسید. به هر حال، ما الآن در کلاسی هستیم که تا حدودی با مفاهیم مساحت و محیط، آشنا است. روی همان برگ کاغذ، مستطیل هایی را که با یکدیگر همپوشانی دارند و محیط آن ها یکسان است، رسم کنید. مثلاً محیط 20 باشد. متوجه می شوید که با این محیط، 9 مستطیل وجود دارد. این مستطیل ها با عرض 1 و ارتفاع 9 شروع می شوند و سپس، عرض 2 و ارتفاع 8 و به همین ترتیب تا عرض 9 و ارتفاع 1.
چیزهای زیادی برای مشاهده کردن وجود دارد، عمل و آگاهی. بعضی از بچه ها از مشاهده این که تمام گوشه های این مستطیل ها روی یک خط راست هستند، شوکه می شوند .پس متوجه خواهند شد که یکی از این مستطیل ها، دوضلعش با هم برابرند، و شما می توانید سؤال های زیادی درباره این مستطیل بپرسید. یکی از نکات جالب این است که معلم نباید سؤال کند، بلکه بچه ها باید سؤال کنند. محیط همه مستطیل ها یکسان است.آیا مساحت هایشان هم یکسان است؟ کدام یک بیش ترین مساحت را دارد؟
در این جا، فعالیت دیگری با مستطیل ها آورده شده است. دوباره کاغذ شطرنجی را بگیرید و مستطیل های متفاوت را با مساحت یکسان مثلاً 24 واحد مربع، ببرید. آن ها را روی یک برگ کاغذ در کنار هم قرار دهید. حالا گوشه های مقابل گوشه ای که در آن با یکدیگر همپوشانی دارند، روی یک خط راست نیست، یک خط منحنی جالب درست شده است.
بچه ها با قوه تخیل قوی خود، این ها را به هم وصل می کنند تا خطوط منحنی درست کنند. پس این نیز، یک ملاحظه دیگر می طلبد. این نمونه ای از یک فعالیت با مستطیل هاست که بچه ها انتخاب خودشان را دارند. آن ها اظهارات خود را بیان می کنند و معلم، فقط اندکی به آن ها کمک می کند یا سرنخ می دهد. اگر بچه ها هیچ ایده ای نداشته باشند، در این صورت یک معلم خوب آموزش دیده که به تدریس دانش آموز محور، خو گرفته است، می تواند چند سرنخ به آن ها بدهد.
شاید نکته ای که بنیاد نوفیلد به قدر کافی بر آن تأکید نمی کنند، قاعده حدس زدن است. حدس زدن به طور طبیعی به سراغ ما می آید. هر کسی سعی می کند که حدس بزند و لازم نیست که حدس زدن به او آموزش داده شود. چیزی که باید آموزش داده شود، حدس منطقی است،و مخصوصاً چیزی که باید آموزش داده شود، این است که به فرد اعتماد نکنید و آن ها را، آزمایش کنید. اگر با حدس زدن شروع کنید، فعالیت دانش آموزان بهتر شروع می شود.
در این جا مثالی از یک فعالیت اندازه گیری طول و عرض کلاس می زنم. ممکن است برای تعدادی از بچه ها که قبلاً با معلم سابق خود این فعالیت را انجام داده باشند، انجام دوباره آن کسالت بار باشد. اگر با یک حدس شروع کنید، می توانید اندکی توجه آن ها را جلب کنید. ممکن است به کلاس بگویید، " به نظر می رسد که طول این کلاس دوبرابر عرضش باشد. واقعاً این طور است؟" امیدوارم بعضی از بچه ها بگویند: " نه طول آن از دوبرابر عرضش بیش تر است". عده دیگر خواهند گفت: " نه، کوتاه تر است ". تعداد بسیار کمی هم خواهند گفت: " دقیقا ". بعد از این حدس ها، بچه ها اندازه گیری را با علاقه بسیار بیش تری انجام خواهند داد، زیرا هر کسی علاقه مند است بداند که حدس او درست است یا خیر. این یک مورد بسیار خاص در مورد تاکتیک های حل مسأله است. اگر کمی در این مورد تعمیق کنید، متوجه خواهید شد که حدس زدن، نقش مهمی را بازی می کند. به طور طبیعی، همیشه راه حل یک مسأله، با یک حدس شروع می شود، نه همیشه با یک حدس خوب. برعکس، معمولاً حدس همیشه به طور کامل، خوب نیست. این یعنی اندکی از مدار خارج شدن، و هنر حل مسأله تا حد زیادی، شامل تصحیح کردن حدس های شماست.
منبع اصلی
http://mathematicallysane.com/horne
سخنران: جورج پولیا
مترجمان: علیرضا طالب زاده، مرکز آموزش ضمن خدمت میاندوآب
زهرا گویا، دانشگاه شهید بهشتی مجله رشد
+ نوشته شده در جمعه هفدهم دی 1389ساعت 21:14 توسط ابراهیم فرمانی شجاعت | نظر بدهید بخش پذیری
بخش پذیری اعداد
اگرعددی را بر عددی تقسیم کنیم و باقی مانده تقسیم صفر شد می گوییم بر آن عدد بخش پذیر است .
· تمام اعدادبر عدد یک بخش پذیرند .
· عددی بر عدد 2 بخش پذیر است که رقم یکان آن زوج باشد .
· عددی بر 3 بخش پذیر است که مجموع ارقام آن بر 3 بخش پذیر باشد .
· عددی بر 4 بخش پذیر است که دو رقم سمت راست آن بر 4 بخش پذیر باشد یا دو رقم آخر صفر باشد .
· عددی بر 5 بخش پذیر است که رقم یکان آن صفر یا 5 باشد.
· عددی بر6 بخش پذیراست که هم بر 2و هم بر 3 بخش پذیر باشد .
· عددی بر 7 بخش پذیر است که :
1- اگر رقم اول سمت چپ آن را در 3 ضرب کرده با رقم دوم سمت چپ جمع کنیم حاصل را بر 7 تقسیم کنیم سپس باقی مانده تقسیم را در دو ضرب کنیم و با رقم سوم از سمت چپ جمع و حاصل را بر 7 تقسیم کنیم با قی مانده برابر با مضربی از 7 یا صفر باشد .
2- رقم یکان را دو برابر کنیم از بقیه ارقام کم کنیم باقی مانده صفر یا مضربی از 7 باشد .
عددی بر 8 بخش پذیر است که سه رقم سمت راست آن بر 8 بخش پذیر است .
عددی بر 9 بخش پذیر است که مجموع ارقام آن بر 9 بخش پذیر است .
عددی براست 10 بخش پذیر است که رقم یکان صفر باشد .
عددی بر 11 بخش پذیر است که اختلاف مجموع ارقام مرتبه زوج یا مجموع ارقام فرد بر 11 بخش پذیر باشد .
عددی بر 12 بخش پذیر است که هم بر 3 و هم بر 4 بخش پذیر است .
عددی بر 13 بخش پذیر است که چهار برابر یکان ر با بقیه اعداد جمع کنیم حاصل بر 13 بخش پذیر باشد . 39 = 19+20 20 =4 × 5 195
عددی بر 15 بخش پذیر است که هم بر 3 و هم بر 5 بخش پذیر باشد .
عددی بر 17 بخش پذیر است که اگر رقم یکان آن را 5 برابر کنیم و اختلاف آن را با بقیه ارقام حساب کنیم عدد حاصل بر 17 بخش پذیر باشد .
34 =11-45 45=5×9 119
عددی بر 19 بخش پذیر است که مجموع دو برابر رقم یکان با بقیه ارقام بر 19 بخش پذیر باشد .
عددی بر 23 بخش پذیر است که مجموع 7 برابر رقم یکان با بقیه ارقام مضربی از 23 باشد .
عددی بر 27 بخش پذیر است که اگر آن را بر 3 تقسیم کنیم خارج قسمت بر 9 بخش پذیر باشد . + نوشته شده در جمعه هفدهم دی 1389ساعت 21:10 توسط ابراهیم فرمانی شجاعت | نظر بدهید روش تدریس ریاضی
روش تدریس ریاضی
بحث در روش تدريس رياضي به زمان ما منحصر نمي شود. از هنگامي كه تدريس رياضي مطرح بوده است، روش تدريس آن نيز مورد بحث و مطالعه بوده است. با مطالعه تاريخ آموزش و پرورش، ملاحظه مي كنيم كه همواره دو نوع آموزش درمقابل هم قرار داشت هاند. دسته اول، روشهاي تدريس سنتي، كه در گذشته هاي دور به كار مي رفته اند و دسته دوم، روشهاي مبتني بر يافته هاي روانشناسي است كه به طور عمده از قرن بيستم به بعد تكوين يافته اند و به روشهاي جديد شهرت دارند. از ميان روشهاي سنتي مي توان از روش سقراطي و روش مكتبخانه اي در ايران و ديگر كشورهاي اسلامي نام برد. از روش هاي جديد در تدريس رياضي مي توان به روش توضيحي، روش سخنراني، روش اكتشافي، روش حل مساله، روش بحث در كلاس، روش پرسش و پاسخ، روش فعال، روش قياسي و استقرايي آموزش مهارتهاي فراشناختي نام برد. در اين فصل انواع روشهاي تدريس رياضي كه به پنج دسته، روش كلامي، روش مكاشفه اي، روش مفهومي، روش فعال و روش الگوريتمي مورد بررسي و نقد قرار مي گيرند. در پايان اين فصل از خوانندگان انتظار مي رود كه بتواند با تكيه بر انواع روشهاي تدريس ذكر شده، در يك يا چند موضوع درسي، تدريسي را طراحي نمايند و در صورت امكان آن را اجرا نمايند تا به نقاط قوت و ضعف خود آشنا شوند و نقاط قوت خود را در تدريس هاي بعدي، پر رنگ تر نموده و برضعف هاي خود چيره شوند.
2-1 روش كلامي (زباني)
در اين روش معلم به اصطلاح متكلم وحده است. همه چيز را بيان مي كند، قواعد را بررسي مي كند، نتيجه گيري مي كند و طراح مساله است. خلاصه معلم همه كاره و دانش آموز هيچ كاره است. معلم مساله گو و شاگرد مساله حل كن، معلم متكلم و شاگرد مستمع است. اين نكته جالب است كه طرفداران اين روش دو گروه مخالفند، عده اي موافق روش زبان ماشيني و عده اي موافق روش زباني استدلالي هستند.
الف) روش تدريس زبان ماشيني (قاعده گويي):
اين گروه اعتقاد دارند كه دانستن قواعد و فنون محاسبه براي دانش آموزان كافي است. اگر دانش آموز ادامه تحصيل دهد آنگاه برايش استدلال خواهد شد و مطالب را خواهد فهميد و در صورتي كه ادامه ندهد اين محاسبات هست كه به دردش مي خورد و چه كار دارد كه چرا فلان مطلب چنين است و چنان نيست. حسن اين روش در آن است كه تدريس به سرعت انجام مي شود ولي معايب آن عبارتند از:
1- دانش آموز قواعدي را بدون آنكه آنها را درك كرده و منطقي بودن آنها را پذيرفته باشد، آنها را حفظ مي كند و به همين سرعت هم فراموش مي كند.
2- نسبت به مطالبي كه مي خواند احساس بيگانگي مي كند و نسبت به آنچه ياد گرفته است علاقه اي نشان نمي دهد.
3- اين آموزش پاسخگوي نيازهاي طبيعي دانش آموز به كنجكاوي و حقيقت جويي نمي باشد.
4- طرفداران اين روش جالب پرورش را به طور كلي ناديده مي گيرند.
ب) روش تدريس زبان استدلالي:
طرفداران اين شيوه برخلاف گروه قبل تدريس رياضي را توام با استدلال قبول دارند. آنها معتقدند كه رياضي با منطق آميخته است. پس بايد با استدلال و برهان به امر تدريس رياضي همت گماشت. ابتدا بايد تعريف و اصول گفته شود و به دنبال آن مي توان نتيجه گيري ها را با استفاده از قوانين منطق آغاز نمود. حسن اين روش آن است كه با طبيعت رياضي سازگاري دارد ولي معايب آن عبارتند از:
1- از روش استدلالي در هر سني نمي توان استفاده نمود.
2- قدرت ابتكار رشد نمي كند و دانش آموز جستجوگر نخواهد شد.
3- معلم و شاگرد به تدريج از جهان واقعي دور مي شوند.
نقد و خلاصه روش هاي كلامي (زباني):
روشهاي زباني همان طور كه از نامشان پيداست، بر زبان و كلام معلم تكيه دارد. در اين روشها، معلم و مدرس متكلم وحده است و كمتر مجال سئوال كردن، توضيح دادن، درك و فهم واقعي به دانش آموزان داده مي شود.
تنها مزيت ظاهري روشهاي زباني اين است كه تصور مي شود كه دانش آموزان به ظاهر در درس پيش مي روند. اين باور درست نيست، زيرا در دراز مدت، اثرات نادرستي در پرورش فكر و استعداد دانش آموزان مي گذارد و در سنين بالاتر اگر مطالب رياضي را دير مي فهمند، علت عمده اش اين است كه قبلا در آموزش مطالب بنيادي به آنها عجله كرده ايم. به عبارت ديگر، در مراحل بعدي آموزش، دانش آموزان ناچارند از معلوماتي استفاده كنند كه قبلاً آنها را خوب فرا نگرفته و به درستي نفهميده اند.
2-2 روش اكتشافي
يادگيري اكتشافي فرايندي است كه دانش آموز به طور مستقل و با راهنمايي معلم يا بدون آن، اصل يا قانوني را كشف نموده و مساله اي را حل مي كند. ويژگي عمده روش اكتشافي، درجه و ميزان راهنمايي شدن شاگرد (به وسيله معلم) براي اكتشاف است كه اين ويژگي به عواملي مانند استعداد دانش، مهارت شاگرد و درجه دشواري خود مساله بستگي دارد و مي تواند در چهار محدوده قرار گيرد.
1- معلم مي تواند اصول و راه حل مساله را براي شاگرد توضيح دهد، اما پاسخ مساله را نگويد (در اينجا معلم از روش توضيحي بهره مي گيرد)؛ اين نوع راهنمايي براي دانش آموزان ضعيف ضرورت مي يابد.
2- معلم مي تواند فقط اصولي را كه براي كشف آن به كار مي رود به شاگرد توضيح دهد، اما راه حل و جواب مساله را در اختيار او قرار ندهد.
3-معلم مي تواند اصول را ارائه ندهد؛ اما راه حل را بگويد.
4- معلم مي تواند اصول و راه حل را به شاگرد نگويد؛ كه آن را يادگيري راهنمايي نشده مي ناميم.
از آن جايي كه اين روش بر پاسخ مداوم دانش آموزان به سئوالات مختلف در كلاس درس تا حدودي متكي است، لذا تدريس به وسيله آن مشكل است و لذا معلم نياز به صبر بيشتر و وقت زيادتري دارد و نقش معلم در اين روش هدايت نمودن دانش آموزان در ارتباط دادن مطالب جديد با تجارب و محفوظات گذشته نشان مي باشد. حدسيات، تخمين ها و آزمايش و خطا، آزمايشهايي هستند كه در روش اكتشافي براي يافتن ايده هاي جديد و ارتباط آنها با مفاهيم گذشته به كار مي روند.معلم با طرح سئوالات مناسب مي تواند جواب هاي نادرست دانش آموزان را به سمت جواب هاي درست هدايت نمايد. معلم بايد كلاس را در جهت صحيح و مسير معيني حفظ نمايد به طوري كه از حالت كاوش و پويايي شاگردان كاسته نشود. در اين روش، معلم دانش آموزان را وادار به فكر كردن مي كند و آنها را براي رسيدن به پاسخ درست تشويق مي نمايد لذا دانش آموز در فرايند يادگيري سهيم است.
تكنيك هاي تدريس به روش مكاشفه اي:
1- معلم، سئوالي را براي بررسي كردن به دانش آموزان ارائه مي نمايد. معلم بايد اطمينان حاصل كند كه دانش آموزان مساله را فهيمده اند و بدانند كه دنبال چه چيزي مي گردند و چگونه بايد اين راه را ادامه دهند و چگونه مسير درست را انتخاب نمايند.
2-معلم فكر كردن را در دانش آموزان با گفتگو و پرسش برانيگزاند و از آنها بخواهد با ارائه مثال ها و نامثال ها، مساله را دنبال كنند.
3-معلم فعاليت هايي طرح ريزي نمايد كه الگوهاي جديد را ايجاد نمايد.
4- معلم از مدل هاي مختلف آموزشي و ابزار كمك آموزشي باري تدريس بهره برد.
5- در ارزشيابي نيز از مسايل استفاده نمايد كه توانايي آنها را در كشف مقاصد جديد بسنجد.
6-از نتيجه گيري سريع براساس يك يا دو نمونه به عنوان شاهد خوددداري كنيد.
اكتشاف يك مطلب در كلاس درس بايد روال منطقي داشته باشد و تا حدودي نمايانگر يك مكاشفه واقعي با محيطي منطقي باشد.
7- دانش آموزان را به طور مرتب در جريان پيشرفت هايشان قرار دهيد.
محاسن روش اكتشافي از ديدگاه برونر:
1- يادگيري اكتشافي، توانايي ذهني دانش آموزان را تقويت مي كند.
2- يادگيري اكتشافي، انگيزه دروني دانش آموز را افزايش مي دهد، زيرا در اين يادگيري شاگرد به طور خودجوش فعاليت هاي آموختن را دنبال مي كند و پاداشي هم كه مي گيرد، از فعاليت هاي خود اوست.
3- يادگيري اكتشافي، فنون اكتشاف را به شاگرد مي آموزد و او را خلاق و كاوشگر بار مي آورد.
4- يادگيري اكتشافي موجب دوام بهتر آموخته ها مي شود. زيرا دانش آموز خود آموخته هايش را سازمان مي دهد و مي داند كه چه موقع و چگونه آنها را به دست آورد.
5- از آنجا كه در اين روش از مشاهده اشكال، اشيا، و تصاوير براي تدريس استفاده مي شود. درك حقايق و روابط را تا حدي براي دانش آموزان آسان مي كند.
معايب روش اكتشافي:
1- قدرت استدلال و ارتباط بين مفاهيم كم مي شود.
2- اين روش بسيار وقت گير است.
3- طرفداران اين روش اهميت فوق العاده اي به احساس و ادراك مي دهند اما بايد توجه داشت كه بعضي از مفاهيم رياضي (مانند اعداد منفي) را نمي توان از راه حواس درك نمود.
4- مكاشفه در بدو امر خوب است ولي نتيجه اساسي نه از راه مكاشفه بلكه از كوششي كه در نباله اين رغبت براي توضيح و تنظيم روابط صورت مي گيرد، حاصل مي شود. به عنوان مثال نيوتن با مشاهده سقوط سيب از درخت، وجود رابطه اي بين زمين و اجسام پيرامون آن را احساس كرد (مكاشفه) ولي مشاهدات مذكور به تنهايي ارزش چنداني نداشت و اگر به همين جا خاتمه يافته بود، هيچ نتيجه عملي از آن به دست نمي آمد.
5- اگر هر تصوري را به كمك شكل و به طور يكنواخت به دانش آموزان عرضه كنيم، بيم آن مي رود كه ذهن آنها، به جاي رابطه مورد نظر، توجه شان به شكل يا تصوير جلب شود و به كلي از حقيقي كه در نظر داريم بي اطلاع بماند.
2-3- روش مفهومي
در اين روش بيشتر تاكيد بر مفاهيم رياضي است و تكيه كمتري بر مهارت ها مي شود. ما معتقديم كه تكيه بيش از حد بر يكي، ما را از ديگري دور مي سازد لذا يايد به طور متعادل بين مفاهيم و استفاده از روش ها تاكيد نمود. ذكر اين نكته ضروري است كه تا هنگامي كه مفاهيم در ذهن دانش آموزان شكل نگرفته است، نبايد به سراغ تكنيك ها و مهارت ها رفت. تفاوت روش مفهومي با روش الگوريتمي نيز از همين جا ناشي مي شود كه در روش مفهومي تكيه بر مفاهيم است و در روش الگوريتمي تكيه بر مهارت ها و تكنيك هاست.
2-4- روش فعال
در اين روش، هدف اين است كه دانش آموزان در فرايند آموزش و پرجنب و جوش باشند. البته، هيچ روشي به طور محض غيرفعال نيست. براي مثال، در روش سخنراني، معلم فعال و دانش آموزان ظاهراً غيرفعالند اما در حقيقت، به طور ذهني فعالند؛ زيرا به سخنان معلم گوش مي كنند و درباره مطالب آن مي انديشند و يادداشت برمي دارند.
برخلاف روش هاي منفعل كه « معلم محور» است روش فعالي « دانش آموز محور» است. دانش آموز درامر يادگيري شركت فعال دارد، با مسايل مواجه مي شود، راجع به حل آنها فكر مي كند و با راهنمايي معلم به حل آنها مي پردازد. در اثر كارهاي آموزشي خودش، به مفاهيم پي مي برد. در اين صورت است كه دانش آموز به حل مساله ها علاقه مند مي گردد. موفقيت اين روش، به مهارت معلم و تسلط او به درس همبستگي دارد.
در آموزش به روش فعال هر دانش آموز مطالب را به سرعت خود ياد مي گيرد و فرصت دارد كه به مطالب فكر كند. دانش آموز از طريق حل مساله، طي فرايندي به تدريج به مفاهيم پي مي برد و به جاي آنكه شاهد را رفتن معلم باشد خود قدم به قدم راه رفتن را تمرين مي كند و مي آموزد. با پي بردن به توانايي هاي خود، در او حس اعتماد به نفس تقويت مي شود چون در به دست آوردن نتيجه ها و كشف قواعد سهيم است و نسبت به مطالب احساس علاقه و مالكيت مي كند و ميل به دانش افزايي در او باور مي شود، در جريان كار فعال، دانش آموز رشد مي كند و تفكر منطقي را تقويت مي كند. در اين روش وظايف معلم عبارتست از توجه به كار يكايك دانش آموزان و دادن راهنمايي در موارد لازم، علاقه مند كردن آنها به كار و فعاليت درسي، شناخت دانش آموزان و پي بردن به توانايي آنها و از همه مهمتر قدم به قدم پيش بردن دانش آموز براي يادگيري يك مطلب درسي جديد طي مراحل مختلف آن. وظيفه دانش آموز هم فهاليت و كارآموزي و كاوشگري در حد توانايي خود مي باشد.
سه اصل آموزش به روش فعال:
معلم بايد بداند كه روند يادگيري چگونه جريان دارد و راه هاي ثمربخش را انتخاب كند. سه اصل براي تدريس ثمربخش وجود دارد كه عبارتند از:
1- اصل يادگيري فعال (كشف موضوع توسط خود دانش آموز ضمن انجام فعاليت هاي مناسب): البته آنچه در كلاس مورد توجه ملعم است اهميت دارد، ولي هزار بار مهم تر از آن، چيزي است كه مورد توجه دانش آموز است. انديش ها بايد از ذهن خود دانش آموز بيرون بيايد. در اين ميان نقش معلم را مي توان با نقش ماما و قابله مقايسه كرد.
اين، نصيحت رسمي سقراط است. گفتگوي سقراطي، بهترين شكل آموزش با بهترين نتيجه است. درست است كه ميزان وفتي كه، در مدرسه، براي هر ماده درسي گذاشته اند، محدود است كه با اين روش همه درس ها را نمي توان ارائه نمود ولي با همه اين، اصل قديمي ما به قوت خود باقي است كه مي گويد: «با همين امكان هايي كه داريد، حداكثر تلاش خود را به كار بريد، تا خود دانش آموزان، در جريان كشف، شركت داشته باشند».
اگر دانش آموز در تنظيم صورت مساله هايي كه بايد حل كند، شركت داشته باشد، خيلي فعالتر خواهد كوشيد. معلم بايد شرايطي را فراهم آورد كه دانش آموز بتواند مساله هاي خودش را طرح كند چون باعث خواهد شد كه نيروي خلاقيت او شكوفا شود.
2- اصل بهترين انگيزه: معلم بايد خودش را واسطه اي بداند كه مي خواهد مقداري از رياضياتي را كه مي داند، در اختيار دانش آموزان قرار دهد. اگر واسطه اي در عرصه جنس خود با مشكلي روبرو شود و كالايش روي دستش بماند يا خريداران از خريد كالاي او سرباز زنند، نبايد تقصير را به گردن خريداران بيندازد. به خاطر داشته باشيد كه، معمولاً حق با خريدار است. دانش آموزي كه از يادگرفتن رياضيات سرباز مي زند، ممكن است حق داشته باشد. هيچ دليلي وجود ندارد كه شاگرد شما، تنبل يا كم هوش باشد. بلكه خيلي ساده، ممكن است به چيز ديگري علاقه مند باشد. آخر، دنياي ما پر از چيزهاي جالب است. وظيفه شما، به عنوان يك معلم و به عنوان كسي كه مي خواهد آگاهي ديگران را بالا ببرد، اين است كه دانش آموز را به رياضيات علاقه مند كنيد. بنابراين، معلم بايد تمامي توجه خود را در انتخاب مساله و تنظيم آن به كار برد و آن را به بهترين صورت ممكن، به دانش آموزان عرصه كند. مساله بايد نه تنها از موضع معلم، بلكه از موضع شاگرد هم، جالب باشد. چه بهتر كه بشود درس را، در رابطه با تجربه روزانه شاگردان طرح كرد و آن را به صورت معما درآورد. مساله را مي توان با موضوعي آغاز كرد كه براي دانش آموزان روشن است و چه بهتر كه اين موضوع، امكان كاربرد علمي مساله و يا موضوعي مورد علاقه عموم باشد. اگر مي خواهيم نيروي خلاقيت دانش آموزان را پرورش دهيم نبايد مبنايي در اختيار آنها بگذاريم تا مطمئن شوند تلاش آنها بيهوده و عبث نيست.
به خصوص، علاقه دانش آموز، بهترين انگيزه او در كار است. ولي، انگيزه هاي ديگري هم وجود دارد كه نبايد آنها را از دست داد. از دانش آموز بخواهيم كه نتيجه را حدس بزند، ولو بخشي از آن را، دانش آموزي كه فرضيه اي را ارائه كند، در واقع خود را به آن وابسته كرده است، حيثيت و احساس او در گرو فرضيه اوست و با بي صبري در انتظار آن است كه ببيند حدس او درست است يا نه، او با اشتياق به سرنوشت مساله و كار كلاس علاقه مند مي شود و در آن لحظه ها هيچ چيز ديگري توجه او را به خود جلب نخواهد كرد.
3- اصل تسلسل مرحله ها: عيب اصلي كتاب هاي رياضي دراين است كه تقريباً همه مسال هاي موجود در آنها، از صورت هاي متعارف و عادي انتخاب شده است. منظور از مساله هاي عادي، مساله هايي هستند كه ميدان كاربرد كمتري دارند و تنها به روشن كردن يك قانون خدمت مي كنند و تمرين هاي مناسب براي يك قانون هستند. البته اين مثال ها هم مفيد و هم لازم هستند ولي دو مرحله مهم آموزش در آنها وجود ندارد: مرحله بررسي و پژوهش و مرحله فراگيري. هدف اين دو مرحله اين است كه مساله مورد بررسي را با شرايط موجود و با آگاهي هايي كه قبلا به دست آورده ايم، مربوط مي كند. مساله هاي عادي، اين دو منظور را برنمي آورند، زيرا از قبل معلوم است كه براي روشن شدن قانون معيني طرح شده اند و اهميت آنها، تنها در خدمت كردن به همين قانون است. البته، گاهي در اين مساله ها، به قانون يا قانون هاي ديگري هم توجه مي شود كه در اين صورت، مساله هاي مفيدتري به حساب مي آيند. حقيقت اين است كه بايد در كنار مساله هاي عادي، دست كم گاه به گاه، مساله هاي عميق تري هم به دانش آموزان داده شود، مساله هايي كه زمينه غني تري داشته باشد امكان ورود دانش آموزان به كارهاي جدي تر علمي را فراهم آورد. وقتي مي خواهيد چنين مساله هايي را در كلاس مورد بحث قرار دهيد از همان ابتدا، يك بررسي و پژوهش مقدماتي به دانش آموزان پيشنهاد كنيد. اين كار اشتهاي آنها را در حل مساله و رسيدن به جواب تحريك مي كند. اين مطلب را هم فراموش نكنيد كه مقداري از وقت كلاس را، براي بحث درباره نتيجه اي كه به دست آمده است باقي بگذاريد. يادگيري توسط سه فاز صورت مي پذيرد: فاز اول: دانش آموز حدس و گمان مي زند. فاز دوم: آن را به صورت كلمات در مي آورد. فاز سوم: براي تثبيت يادگيري تمرين و ممارست انجام دهد.
محاسن روش فعال:
1- دانش آموز مفاهيم را درك مي كند.
2- خود را در به دست آوردن نتيجه ها سهيم مي داند و اين در او علاقه ايجاد مي كند و به تدريج احساس توانايي مي كند كه اين خود موجب به وجود آمدن حس اعتماد به نفس در دانش آموز مي شود.
3- اين آموزش نياز به كنجكاوي، پويايي و خلاقيت را برآورده مي سازد و موجب رشد شخصيت در دانش آموز مي شود.
معايب روش فعال:
1- مدتي صرف خواهد شد تا دانش آموز از طريق حل تمرين هاي كار در كلاس و پاسخ به سئوال هاي مناسب مفاهيم را يكي كي بفهمد و به قاعده ها پي ببرد.
2- هر مفهومي را نمي توان با روش فعال آموزش داد.
2-5- روش الگوريتمي:
منظور از روش الگوريتمي، مجموعه دستورالعمل هايي است كه انجام آنها منجر به حصول نتايجي براي دانش آموز گردد. تعدادي از الگوريتم هاي حساب و جبر كه در دوره هاي تحصيلي مورد بحث قرار مي گيرند عبارتند از: چهار عمل اصلي روي اعداد صحيح و اعشاري، تناسب، جذريابي، يافتن بزرگ ترين مقسوم عليه مشترك، نوشتن اعداد به پايه هاي گوناگون، عمليات روي كسرهاي متعارفي، حل معادلات جبري و عمليات جبري روي بردارها در صفحه، در زمينه هندسه نيز به الگوريتم هاي زير بر مي خوريم مانند: ترسيمات با خط كش، پرگار، گونيا و نقاله مثلا در رسم عمود، نضف كردن پاره خط، ساختن مثلث. هر يك از الگوريتم هاي ذكر شده مبتني بر يك يا چند مفهوم رياضي است. از آن جمله اند مفاهيم: نوشتن اعداد در يك پايه، جذر، نسبت، عدد اول، مجموعه. علاوه بر مفاهيم و الگوريتم ها، ركن ديگر كاربرد الگوريتم ها در حل مسايل است.
معايب روش الگوريتمي:
1- تاكيد بيش از حد بر الگوريتم ها شم عددي دانش آموز را كاهش مي دهد. چون كه شم عددي ما را از مرتكب شدن اشتباهات فاحش مصون مي دارد.
2- دانش آموز تقريباً در هيچ مساله واقعي نياز به اين الگوريتم ها را ندارد. مثلاً الگوريتم جذر بهتر است از روش آزمون و خطا در دوره راهنمايي تحصيلي تدريس گردد.
3- معمولاً دليل درستي اين الگوريتم ها مطرح نمي شود.
4- چون اين الگوريتم ها دشوارند و حفظ كردن آنها نيروي فراواني از دانش آموز مي طلبد، محصل به تدريج نسبت به مفهوم اصلي بيگانه مي شود.
5- در حال حاضر كه ماشين حسابهاي دستي ارزان قيمت عمليات رياضي را حتي از انسان سريع تر و دقيق تر انجام مي دهند لذا ضرورتي بر حفظ همه الگوريتم ها نيست.
چند توصيه براي بهبود روش الگوريتمي:
1- به جاي تاكيد بر كسب مهارت در اجراي دقيق دستورالعمل هاي رياضي، تاكيد بيشتري صرف درك مفاهيم گردد و با قرار دادن وقت كافي در اختيار دانش آموز، به او اجازه آزمايش كردن داده شود. دانش آموزي كه وادار شود هر بار با رجوع به مفاهيم اوليه، مسايل قابل فهم خود را حل كند، به تدريج نياز به دستورالعمل را احساس مي كند و ممكن است خود به سوي الگوريتم سازي سوق داده شود.
2- مسايل حرفي متنوع تر، جذاب تر، واقعي تر و بعضاً دشواري تري از آنچه امروزه معمول است در اختيار دانش آموزان قرار گيرد. درك و فهم مفاهيم رياضي در سطح مدرسه، در ميدان به كارگيري آنها در مسايل ملموس و قابل فهم تحقق مي يابد.
3- تقويت شم عددي دانش آموز كه در حال حاضر بهايي به آن داده نمي شود، به طور جدي مطرح گردد. دانش آموز بايد ياد بگيرد كه حدود نتيجه يك محاسبه را قبل از انجام دقيق آن حدس بزند و با بتواند از عهده تخمين هايي برآيد
مسأله را مي توان به زبان ساده تعريف كرد. هر گاه فردي بخواهد كاري انجام دهد ولي نتواند به هدف خود برسد، برايش مسأله ايجاد مي شود. به عبارت ديگر هر موقعيت مبهم يك مسأله است. حل مسأله نوعي از يادگيري بسيار پيچيده است. مسأله و تلاش براي حل آن جزئي از زندگي هر فرد است. فرآيند برخورد با شرايط زندگي همان مسأله است.
دو ديدگاه متفاوت در آموزش رياضيات نسبت به حل مسأله وجود دارد:
1 - رياضي ياد بدهيم تا دانش آموزان بتوانند مسأله حل كنند.
2- رياضي را با حل مسأله آموزش دهيم.
در ديدگاه اول آموزش رياضي مطابق با محتواي موضوعي است و مفاهيم متفاوتي تدريس مي شوند. انتظار داريم دانش آموزان با استفاده از دانش رياضي خود مسائل متفاوت را حل كنند. اما در ديدگاه دوم آموزش رياضيات از طريق حل مسأله اتفاق مي افتد. يعني دانش آموز مسأله حل مي كند و در ضمن آن محتوا و مفاهيم جديد رياضي را مي سازد، كشف مي‌كند و يا ياد مي گيرد. در حال حاضر، ديدگاه دوم در آموزش رياضيات بيشتر مطرح است. در اين نگاه حل مسأله نقطه تمركز يا قلب تپنده آموزش رياضيات است.
مهارت حل مسأله
اگر از معلمان رياضي سؤال شود كه مشكل اصلي دانش آموزان در درس رياضي چيست؟ به يقين خواهند گفت: آنها در حل مسأله ناتوان هستند. درمطالعه تيمز نيز همين موضوع را شاهد بوديم. چون در اغلب مسأله‌هاي آزمون كتبي اين مطالعه عملكرد دانش‌آموزان پايين است. در واقع مي توانيم بگوييم دانش‌آموزان توانايي يا مهارت حل مسأله را ندارند.
يكي از دلايل اين ناتواني، فقدان طراحي براي آموزش مهارت حل مسأله به دانش آموزان بوده است. يا به عبارتي معلمان به آنها ياد نداده‌اند كه چگونه مسأله را حل كنند. هر گاه دانش‌آموزان با مسأله‌اي روبه‌رو شده و از حل آن عاجز مانده‌اند معلمان تنها به بيان راه حل يا پاسخ مسأله اكتفا كرده‌اند و نگاه‌هاي پرسش گر، كنجكاو و متحير دانش‌آموزان با اين سؤال باقي مانده است: معلم ما چگونه توانست مسأله را حل كند؟ راه حل مسأله چگونه به فكر او رسيد؟ چرا ما نتوانستيم راه حل مسأله را كشف كنيم؟
در خيلي از مواقع معلماني كه سعي كرده اند به طريقي حل مسأله را به دانش آموزان خود ياد دهند، راه را اشتباه رفته اند و آموزش هاي نادرست داده اند. براي مثال به دانش آموزان گفته اند: عددهاي مسأله بسيار مهم اند. زير آن ها خط بكشيد. فراموش نكنيد كه بايد از آن ها استفاده كنيد. همين آموزش نادرست باعث شده است. دانش آموزان اطلاعات مسأله را به خوبي تشخيص ندهند. وقتي مسأله زير براي دانش آموزان كلاس سوم مطرح شد، آن عدد 747 را در عمليات مسأله دخالت دادند و با آن عدد عبارت هاي جمع و تفريق و ... را نوشتند:
«« يك هواپيماي بوئينگ 747 با 237 مسافر در فرودگاه نشست و 130 مسافر را پياده كرد. حالا اين هواپيما چند مسافر دارد؟»»
يا براي دانش‌آموزان گفته اند كه درمسأله بعضي از كلمه‌ها بسيار مهم است. براي مثال اگر كلمه روي هم را ديديد مسئله مربوط به جمع است و اگر كلمه اختلاف را ديديد حتماً بايد تفريق كنيد.
به همين دليل در مسأله زير كه در مطالعه تيمز (2003) آمده بود، عده‌اي از دانش آموزان كلاس چهارم شركت كننده در اين مطالعه به اشتباه افتادند و مسأله را به جاي ضرب، جمع كردند.
« در يك سالن سينما 15 رديف صندلي وجود دارد. در هر رديف 19 صندلي قرار دارد. اين سالن روي هم چند صندلي دارد؟» بهتر است اين روشهاي آموزش نادرست را به كار نبريم و به دنبال طرحي براي آموزش حل مسأله به دانش‌آموزان باشيم.
آموزش حل مسأله
آيا حل مسأله آموزش دادني است؟ يكي از دلايل فقدان طرحي براي آموزش حل مسأله به دانش‌آموزان، اين است كه آموزشگران رياضي تا چندين سال پيش معتقد بودند كه حل مسأله آموزش دادني نيست بلكه يك هنر يا ويژگي و توانايي است كه بعضي از انسا‌ن‌ها دارند و بعضي ندارند. بنابراين هيچ كس تلاش براي حل مسأله به دانش‌آموزان نمي‌كرد. اما تعداد كساني كه درمورد آموزش حل مسأله تحقيق مي‌كنند بيشتر است. يكي از افرادي كه در مورد چگونگي حل مسأله و آموزش آن تحقيق كرد، جرج پوليا است. حاصل كار او در كتاب «چگونه مسأله حل كنيم» منتشر شد. مرحوم احمد آرام اين كتاب را ترجمه كرده است. او در مقدمه كتاب خود مي گويد: « من يك رياضيدان هستم. متخصص آموزش رياضي نيستم، اما علاقه‌مندم بدانم چرا من مي‌توانم مسأله رياضي را حل كنم و ديگران نمي‌توانند؟ چرا بعضي از دانشجويان مسأله رياضي را حل مي‌كنند ولي بعضي نمي توانند؟ او همين سؤال ها را دنبال كرد و مدلي براي تفكر حل مسأله و آموزش راهبردها ارائه كرد. پوليا دو حرف اساسي دارد. 1- مدل چهار مرحله اي براي تفكر حل مسأله 2- آموزش راهبردها كه البته نكته دوم در آموزش اهميت بيشتري دارد.
مدل چهار مرحله‌اي پوليا
فرآيند تفكر حل مسأله براي افراد مختلف متفاوت است. پوليا تلاش كرده تفكر حل مسأله را به نوعي مدل سازي كند. او الگويي چهار مرحله‌اي را مطرح كرده است. در فرآيند حل مسأله اين چهار مرحله چهار گام طي مي‌شوند تا يك مسأله رياضي به طور كامل حل شود. مدل چهار مرحله‌اي او به اين شكل است:
1 - فهميدن مسأله
گام اول حل مسأله فهميدن آن است. اين گام نشان مي‌دهد، مسأله وقتي مسأله است كه نكته‌اي براي فهميدن
داشته باشد. فهميدن مسئله يعني تشخيص داده ها و خواسته هاي آن و درك ارتباط بين آنها. فهم يك مسأله در واقع بخش اصلي فرآيند حل مسأله است. مسأله‌هاي پيچيده حل نمي شوند. چون اغلب در فهم آنها مشكل داريم. اغلب دانش آموزان در فهميدن مسأله اشكال دارند. يكي از دلايل آن اشكال در درك مطلب عبارات صورت مسأله است. معلمان مي‌توانند براي طي كردن اين گام، سؤال‌هاي گوناگوني مطرح كنند به نمونه‌هاي زير توجه كنيد:
داده‌هاي مسأله چيست؟
خواسته‌هاي آن كدامند؟
مسأله را به صورت خلاصه بيان كنيد.
مسأله را به زبان و بيان خود توضيح دهيد و دوباره تكرار كنيد.
مسأله را به صورت نمايشي اجرا كنيد.
مسأله را با شكل‌ها و يا اشياء مدل سازي كنيد.
آيا معني واژه‌ها، لغات و اصطلاحات به كار رفته در مسأله را مي‌دانيد؟
سؤال‌ها و توصيه‌هايي از اين دست كمك مي كنند، دانش‌آموز در مورد مسأله بهتر فكر كند و معلمان نيز مطمئن شوند كه آنها مسأله را درك كرده‌اند.
2- طرح ريزي كردن
در اين طرح مسأله از ابعاد متفاوت رياضي بررسي مي‌شود. يعني تعيين اين كه مسأله به كدام يك از شاخه‌هاي هندسه، كسر، جبر، و ... مربوط است. چگونه مي‌توان آن را مدل سازي كرد؟ كدام روش يا راهبرد براي حل آن مناسب‌تر است؟ در اين مرحله ممكن است مجبور شويم به گام فهميدن برگرديم و اين افت و برگشت تا پيدا كردن يك راه حل مناسب ادامه مي‌يابد. در آموزش ابتدايي آن چه بيشتر از همه براي دانش‌آموزان معني دارد، تشخيص روش يا راهبرد مناسب براي حل مسأله است. به همين دليل اين گام را به انتخاب راهبرد مي‌شناسيم. راهبرد يعني يك روش يا
راه حل عام كه در بسياري از مسائل كاربرد دارد. آموزش راهبردهاي حل مسأله، در واقع مهم‌ترين بخش حل مسأله است كه براي آموزش هنر حل مسأله راهي به دانش آموزان نشان مي‌دهد و آشكار مي‌سازد.
3 - حل مسأله
در گام سوم، وقتي راهبرد مناسب براي حل مسأله مشخص شد، به حل آن اقدام مي كنيم، هنگام حل مسأله ممكن است به اين نتيجه برسيم كه راهبرد انتخاب شده مناسب نيست و به حل مسأله منجر نمي شود. بنابراين بايد به گام دوم برگرديم و راهبرد تغيير دهيم. يا حتي مجبور شويم براي فهميدن بخش‌هايي از مسأله به گام اول برگرديم.
حل مسأله صرفاً نوشتن عمليات و عبارت‌هاي رياضي نيست، گاهي با انتخاب راهبرد، رسم شكل و كشيدن يك شكل مناسب مسأله به طور كامل حل مي‌شود و ديگر نيازي به نوشتن عمليات نيست. يا حدس زدن پاسخ مسأله و آزمايش آن، خواسته مسأله را مشخص مي‌كند. در حالي كه عمليات و راه حل مستقيمي براي رسيدن به جواب ننوشته ايم.
4 - نگاه به عقب
گام چهارم را اغلب دانش‌آموزان و معلمان طي نمي‌كنند. به عبارت ديگر پيدا كردن پاسخ و حل رياضي مسأله را پايان كار مي‌دانند در حالي كه در فرآيند حل مسأله گام نگاه به عقب اهميت زيادي دارد. اين مرحله جلوه‌ها و معني‌هاي متفاوتي دارد. تفسير و ترجمه جواب رياضي مسأله در دنياي واقعي، بررسي منطقي بودن پاسخ و اين كه جواب به دست آمده همان خواسته مسأله است يا نه بررسي صحت عمليات انجام شده بررسي مجدد مراحل مسأله، تطبيق شرايط مورد نظر مسأله با پاسخ به دست آمده، بررسي مسأله با يك راهبرد يا راه حل ديگر و در نظر گرفتن ساير حالت‌ها و شرايط براي مسأله، نمونه‌هايي از كارهايي هستند كه مي‌توان در گام آخر انجام داد.
راهبردهاي حل مسأله
چند نكته:
1 - زماني كه آموزش يك راهبرد مورد نظر است، از دانش‌آموزان مي‌خواهيم، مسأله‌هاي داده شده را فقط با همان راهبرد مورد نظر حل كنند تا با آن به طور كامل آشنا شوند. اما با گذشتن از آموزش راهبردها درهنگام حل مسأله آنها مي‌توانند از هر راهبردي كه مايل هستند مسأله را حل كنند. به اين ترتيب، يك مسأله مي‌تواند با راهبردهاي متفاوت در كلاس حل شود. در صورتي كه اين اتفاق دركلاس بيفتد باعث خوشحالي و سربلندي معلم خواهد شد.
2 - آموزش راهبرد يعني فراهم كردن شرايط و موقعيتي كه دانش‌آموز درك كند، راهبرد مورد نظر براي حل مسأله كارآيي دارد.
3 - تعداد راهبرد زياد است اما آموزش تعداد زيادي راهبرد به دانش‌آموزان طبق تحقيقات انجام شده مناسب نيست. زيرا مانع تفكر و خلاقيت دانش‌آموز خواهد شد. در اين جا چند راهبرد بررسي مي‌شوند:
الف: راهبرد رسم شكل: طبيعي‌ترين راهبردي كه به ذهن دانش آموز مي رسد رسم شكل است. بسياري از مسائل با كشيدن شكل مناسب يا مسأله به طور كامل حل يا راه حل آنها آشكار مي‌شود. اغلب معلمان اين راهبرد (راه حل) را در حل مسأله‌ها از دانش‌آموزان نمي‌پذيرند به همين دليل اين راهبرد طبيعي كم‌كم كنار گذاشته مي‌شود. مثال زيرنشان مي‌دهد، چگونه مي‌توان از اين راهبرد در حل مسأله‌اي استفاده كرد.
(( در يك مزرعه 20 مرغ وگاو وجود دارد . تعداد پاهاي آنها 56 عدد است. چند مرغ و چند گاو در اين مزرعه وجود دارند؟ )) اين مسأله با استفاده از راهبردهاي رسم شكل، با اطلاعات دانش‌آموزان كلاس دوم دبستان قابل حل است.
- ابتدا 20 دايره به جاي سرها مي‌كشيم. براي هر كدام 2 خط (2پا) درنظر مي‌گيريم تا اين جا مي‌شود 40 پا، 16 پاي باقيمانده را با اضافه كردن 2 تا 2 تا رسم مي‌كنيم.
ب) راهبردهاي زير مسأله: مسأله‌هاي پيچيده و چند هدفي معمولاً از چند مسأله ساده تشكيل شده‌اند. گاهي حل يك مسأله و يا زنجيره‌اي از زير مسأله‌ها به حل مسأله اصلي منجر مي‌شوند. تشخيص زير مسأله‌ها و حل آنها، راهبرد مهمي براي حل مسأله‌هاي تركيبي است. مسأله زير با استفاده از اين راهبرد حل شده است:
«رضا 37 عدد گردو جمع كرده است. تعداد گردوهاي علي 17 تا بيشتر از اوست . اين دو نفر روي هم چند گردو جمع كرده اند؟»
اين مسأله در واقع از دو مسأله كوچك تشكيل شده است كه با حل آنها مي‌توان پاسخ را پيدا كرد.
1- تعداد گردوهاي علي چند تا است؟
2 - تعدادگردوهاي رضا و علي روي هم چند تاست؟
پس
1- تعداد گردوهاي علي 54=14+37
2 - تعداد گردوهاي رضا و علي 91=37+54
در اين راهبرد، دانش‌آموزان بايد ياد بگيرند، چگونه زير مسأله‌ها را تشخيص دهند. آنها را جداگانه بنويسند و سپس به حل تك‌تك آنها اقدام كنند.
ج) راهبرد حل مسأله ساده‌تر: گاهي مسأله پيچيدگي‌هايي دارد كه نمي‌توان آن را به راحتي حل كرد. اما وقتي آن را ساده مي‌كنيم، يا حل و يا روش حل آن ظاهر مي‌شود. وقتي مسأله درحالت ساده‌تر بررسي شد يا يك الگو‌يابي مي‌توان آن را به حالت كلي تعميم داد. ساده كردن عددها و داده‌ها نيز بخشي از اين راهبرد است. در مسأله زير با ساده كردن عددها مي‌توان به راه حل نزديك شد.
«در يك كارخانه، لوله‌هايي به طول متر توليد مي‌شود. در يك روز 244 عدد لوله توليد شده است. در اين روز چند متر لوله توليد شده است؟ »
شكل ساده شده مسأله چنين است: يك كارخانه لوله‌هايي به طول 2 متر توليد مي‌كند. اگر 200 عدد لوله توليد شود، چند متر لوله توليد شده است؟ يعني با تغيير دادن عددها و ساده كردن آنها، مي‌توان به راه حل مسأله كه ضرب است نزديك شد.
د) راهبرد حذف حالت نامطلوب: وقتي از تمام حالت‌هاي ممكن پاسخ يك مسئله و با استفاده از داده‌ها، فرض‌ها و اطلاعات مسأله حالت‌هاي نامطلوب يكي‌يكي يا دسته دسته حذف مي‌شوند، خود را به پاسخ نزديك مي‌كنيم. حذف حالت‌هاي نامطلوب، يعني كنار گذاشتن حالت‌هايي كه با شرايط و فرضيات مسأله تطبيق نداند تا رسيدن به پاسخ و حالت مطلوب كه مورد نظر مسأله است. به مثال زير توجه كنيد.
يك بازي دو نفره به اين صورت انجام مي‌شود كه يك نفر عددي بين 1 تا 100 در ذهن خود مجسم مي‌كند. نفر بعد با سؤال كردن از او، به طوري كه فقط پاسخ بلي يا خير بشنود، بايد به عددي دست يابد كه در ذهن نفر اول است. سؤال آيا اين عدد دو رقمي است مناسب نيست چون اگر پاسخ مثبت باشد، فقط 9 عدد (حالت نامطلوب) حذف مي‌شود و 90 عدد ديگر باقي مي‌ماند.
سؤال آيا اين عدد زوج است، مناسب است، چو در هر صورت يعني از حالت‌ها حذف مي‌شوند. بهترين سؤال براي شروع اين است: آيا اين عدد بين 1 تا 50 قرار دارد؟ به اين ترتيب نيمي از حالت‌ها حذف مي‌شوند. اگر پاسخ مثبت بود، سوال بعدي اين است كه آيا عدد بين 1 تا 25 است؟ به همين ترتيب، با نصف كردن، عددهاي نامطلوب كم كم حذف مي شوند تا به عدد مورد نظر دست يابيم.
منابع :
- عباس زادگان، سيد محمد، ارائه الگويي در برنامه درسي رياضيات جديد، فصلنامه تعليم و تربيت، شماره 4، سال 1364، ص 37.
- گروه رياضي كاربردي، واژه نامهٌ رياضي، انتشارات جهاد دانشگاهي صنعتي شريف، چاپ پنجم، تير 1369.
- شیخ‌زاده، مصطفی و مهر محمدی، محمود 1383، نرم‌افزار آموزشی ریاضی ابتدایی بر اساس رویکرد سازنده گرایی و سنجش میزان اثر بخشی آن، نوآوری‌های آموزشی، سال سوم، شماره 9.
+ نوشته شده در یکشنبه سی ام مهر 1391ساعت 9:53 توسط ابراهیم فرمانی شجاعت | نظر بدهید کاربرد رياضي در زندگي
کاربرد رياضي در زندگي
بسيار پيش مي آيد که دانش آموزان پس از تدريس يک درس ، از ما مي پرسند که اين درس که امروز خوانديم ،به چه درد ما مي خورد؟و کجامي توانيم ازآن استفاده کنيم ؟
رياضيات به عنوان يک درس اصلي است که داشتن درک درست از آن در آينده ي تحصيلي دانش آموزان و طبعاً پيشرفت علمي کشور نقش مهمي دارد . همچنين شامل کليه ارتباطات رياضي با زندگي روزمرّه ، ساير علوم و کاربرد هايي در زندگي علمي آينده ي دانش آموزاست .به اين ترتيب دربرنامه درسي و آموزشي ، برقرار کردن پيوند رياضي ات با کاربرد هايش در زندگي و ساير علوم از قبيل :هنر،علوم طبيعي ،علوم اجتماعي و . . . . بايد مدّ نظر قرار گيرد . در صورتي که اين موارد در آموزش ديده نشود ، اين سؤ ال هميشه در ذهن دانش آموز باقي مي ماند که:
« به چه دليل بايد رياضي خواند ؟ » و« رياضي به چه درد مي خورد ؟ »
بين رشته هاي علمي ، که بشر در طول هزاران سال به وجود آورده ، رياضي جاي مخصوص و ضمناٌ مهمّي را اشغال کرده است . رياضيات با علوم فيزيک ، زيست شناسي ، اقتصاد و فنون مختلف فرق دارد . با وجود اين به عنوان يکي از روشهاي اصلي در بررسيهاي مربوط به کامپيوتر ، فيزيک ، زيست شناسي ، صنعت واقتصاد به کار مي رود ودرآينده بازهم نقش رياضّيات گسترش بيشتري مي يابد.
با وجود اين مطلب ، براي آموزش جوانان هنوز از همان روشي استفاده مي شود که سقراط و افلاطون ، حقايق عالي اخلاقي را براي شيفتگان منطق و فلسفه و براي علاقمندان سخنوري و علم کلام بيان مي کردند . در حقيقت در درسهاي حساب ، هندسه و جبر ،هرگز لزوم يادگيري آنها براي زندگي عملي خاطر نشان نمي شود. هرگز از تاريخ علم صحبتي به ميان نمي آيد. نظريه هاي سنگين علمي ، ولي هيچ نتيجه اي جز اين ندارد که دانش آموزان را از علم بري کند و عدّه ي آنها را تقليل دهد .
يکي ازراههاي جدي براي حلّ مسئله توجه به تاريخ علم، گفتگو در باره ي مردان علم و ارتباط رياضي با عمل است ، ارتباطي که در تمام دوران زندگي بشر هرگز قطع نشده است .
● کاربرد ارقام
در زمانهاي قديم هر قدمي که در راه پيشرفت تمدّن برداشته مي شد، بر لزوم استفاده از اعداد مي افزود . اگر شخصي گله اي از گوسفندان داشت ، مي خواست آن را بشمرد ،يا اگر مي خواست معبد يا هرمي بسازد ، بايد مي دانست که چقدر سنگ براي آن لازم دارد . اگر داراي زمين بود ، مي خواست آن رااندازه گيري کند . اگر قايقش را به دريا مي راند ، مي خواست فاصله ي خود را از ساحل بداند . و بالاخره در تجارت و مبادله ي اجناس در بازارها ، بايد ارزش اجناس حساب مي شد.هنگامي که آدمي محاسبه با ارقام را آموخت ، توانست زمان ، فاصله مساحت ، حجم را اندازه گيري کند . با بکار بردن ارقام ، انسان بردانش و تسلّط خود بر دنياي پيرامونش افزود .
براي ما بسيار ساده مي کند .
● کاربرد تقارنها (محوري و مرکزي ) و دَوَرانها
مباحث تقارنها ودورانها که به تبديلات هندسي معروف هستند،درصنعت و ساختن وسائل و لوازم زندگي استفاده مي شوند . مثلاً در بافتن قالي و براي دادن نقش و نگار به آن از تقارن استفاده مي شود . در کوزه گري و سفالگري از دوران محوري استفاده مي - شود . همچنين در معماريهاي اسلامي اغلب از تقارنها کمک گرفته مي شود . چرخ گوشت ، آب ميوه گيري ، پنکه ، ماشين تراش ُ بادوراني که انجام مي دهند ، تبديل انرژي مي کنند . علاوه بر آن تبديلات هندسي براي آموزش مطالبي از رياضي استفاده مي شوند ،مانند : مفهوم جمع و تفريق اعداد صحيح با استفاده از بردار انتقال موازي محور.
● کاربرد مساحت
مفهوم مساحت و تکنيک محاسبه مساحت اشکال مختلف ، از اهمّ مطالب هندسه است .به سبب کاربرد فراواني که در زندگي روزمرّه مثلاً براي محاسبه ي مساحت زمينها با اَشکال مختلف . و همچنين درفيزيک و جغرافياوساير دروس دانستن مساحتهالازم به نظرمي رسد .
.کاربرد چندضلعي ها
شناخت چهار و و دانستن خواص آنها ، براي يادگيري مفاهيم ديگر هندسه لازم است و ضمناً در صنعت و ساخت ابزار و وسائل زندگي و همچنين براي ادامه تحصيل وهمين طور در بازار کار نياز به دانستن خواص چهارضلعيها احساس مي شود .
● کاربرد آمار و ميانگين
وقتي کسي از مقادير عددي کمک مي گيرد ، تا يک موقعيّت را توضيح دهد ، او وارد قلمرو آمار شده است . آمار معمولاً اثر تعيين کننده اي دارد . اگر چه ممکن است مفيد يا گمراه کننده باشد . ما عادت کرده ايم، که پديده هاي زيادي نظيرموارد زير را با توجه به آمار ، پيش بيني کنيم :
احتمال پيروزي يک کانديداي رياست جمهوري،وضعيت اقتصادي(تورم،در آمد ناخالص ملي ، تعداد بيکاران ،کم وزيادشدن نرخ بهره هاونرخ سهام ، بازار بورس ، ميزان بيمه ، آمار طوفان،جذر و مد) و غيره .
قلمرو آمار به طور مرتب درحال بزرگ شدن است.آمار مي توانددر موارد زيادي ، براي قانع کردن مردم و يا انصراف آنهااز يک تصميم موءثّر باشد . به عنوان مثال : اگر افراداحساس کنند که رأي آنها نتيجه ي انتخابات را تغيير نخواهد داد ، ممکن است ازشرکت در انتخابات صرفنظر کنند .
در عصر ما آمار ابزار قوي و قانع کننده است،مردم به اعدادمنتشر شده ي حاصل از آمار گيري ،اعتماد زيادي نشان مي دهند.
به نظر مي رسد وقتي يک وضعيت وموقعيت باتوسل به مقادير عددي توصيف مي شود ، اعتبار گزارش در نظر مستمعين بالا مي رود .
● مقاطع مخروطي
در هواي گرم بستني بسيار خوشمزه ودلچسب است .بخصوص اگر بستني قيفي داشته باشيد ودر حالي که روي يک صندلي و در سايه درختي نشسته باشيد و فارغ از جار و جنجال روزگار ، به خوردن بستني مشغول باشيد. شايد همه چيز از ذهن شما بگذردمگرهمان بستني قيفي که مشغول خوردن آن هستيد .
اين مطلب توجه يک رياضيدان بلژيکي خوش ذوق رابه خودجلب کرد و آن رابراي توضيح يکي ازمطالب مهم رياضي [يعني مقاطع مخروطي]بکار برد . واقعاً جالب است مگه نه ؟
مقاطع مخروطي يکي از مباحث مهم و کاربرد ي در رياضيات بوده وهست .
..................................................
منبع : niazemarkazi
+ نوشته شده در پنجشنبه هجدهم فروردین 1390ساعت 21:23 توسط ابراهیم فرمانی شجاعت | نظر بدهید آموزش ریاضی در دوران کودکی هرگاه کودکان واقعیت های محیط پیرامون خود را به طریقه ای مناسب تجربه کنند ریاضی را درسی ناشناخته صرفا نظری و کاملا مغایر زندگی خود احساس نمی کنند. چنین احساسی در آن هنگام به ذهن آن ها خطور می کند که این درس را به شکلی سخت و صرفا مجرد آموزش دهند .
غالب اوقات آنچه در یادگیری ریاضی ایجاد اشکال می کند درس ریاضی نیست بلکه نحوه تدریس آن است . + نوشته شده در یکشنبه چهاردهم فروردین 1390ساعت 11:22 توسط ابراهیم فرمانی شجاعت | نظر بدهید هنر حل مساله
استراتژی جورج پولیا در حل مساله:
پولیا می گوید : روند حل مساله عبارت است از :" جستجوی راه خروج از دشواری ها یا مسیر عبور از مانع ها " .
پولیا مراحل حل مساله را که شامل چهار مرحله است به صورت زیر بیان می کند :
۱) فهم مساله
۲) تهیه طرح یا نقشه مناسب برای حل مساله
۳) اجرای طرح یا نقشه
۴) بازنگری
۱- فهم مساله : برای حل مساله ابتدا باید صورت مساله را خوب درک کرد . پس اولین وظیفه برای حل یک مساله , فهم درست و کامل یک مساله است . پولیا معتقد است برای حل یک مساله باید موارد زیر به خوبی روشن شود :
الف) چه چیزی را باید پیدا کرد ؟ ( مجهول چیست ؟)
ب) چه چیزی مفروض است ؟( معلومات چیست ؟)
ج) چه رابطه ای بین مجهولات و معلومات موجود است ؟
۲- تهیه طرح یا نقشه برای حل مساله : ممکن است برای حل یک مساله چندین راه موجود باشد اما باید به دنبال طرحی بگردیم که ما را مستقیما به هدف برساند . درین راه می توان از مسایل کمکی نیز استفاده کرد .
کهلر آزمایشی انجام داده است به این ترتیب که : میمونی را در اتاقکی قرار می داد و در بیرون اتاقک موزی وجود داشت که دست میمون به آن نمی رسید , جانور با جدیت می کوشید تا به موز بیرون اتاقک دست یابد ولی بی نتیجه بود . در محدوده ای که دست او می رسید قطعه چوبی بود که جانور ظاهرا هیچ توجهی به آن نداشت ناگهان میمون چوب را برداشت و موز را حرکت داد و آن را خورد . حیوان برای برداشتن موز , از مساله ای دیگر که همان برداشتن قطعه چوب است استفاده کرد که به این مساله , " مساله کمکی یا فرعی " می گویند . با حل این مساله , پیدا کردن راه حل مساله هموار می گردد.
۳- اجرای طرح یا نقشه : پس از تهیه طرح باید آنرا به اجرا گذاشت . نکته اساسی این است که شخص نظارت کامل بر پیشرفت اجرای طرح داشته باشد تا اگر زمانی احساس کرد که ممکن است او را به حل مساله نرساند بتواند طرح جدیدی را تهیه و اجرا کند .
۴- بازنگری : پس از اتمام مرحله اجرا , حل کننده مساله باید یک بازنگری بر تمامی مراحل داشته باشد و جوابها و برهان ها را امتحان کند .
(( اگر می خواهید شنا یاد بگیرید با شجاعت وارد آب شوید و اگر می خواهید مساله ها را یاد بگیرید آنها را حل کنید . ))
جورج پولیا
+ نوشته شده در جمعه هفدهم دی 1389ساعت 21:44 توسط ابراهیم فرمانی شجاعت | نظر بدهید حل مساله
دانشمندان اسپانیایی با انجام بررسی هایی دریافتند که اگر مسأله های ریاضی را با صدای بلند بخوانیم آسان تر حل می شوند و اگر تکالیف دشوار ریاضی با صدای بلند خوانده شوند می توان به راه حل صحیح آن ها به روشی ساده تر دست یافت و فکرکردن با صدای بلند به حل سریع تر مسأله های ریاضی کمک می کند .هم چنین این دانشمندان مشاهده کردند کشیدن شکل های مرتبط با مسأله های ریاضی می تواند برای یافتن راه حل درست مفید باشد ،زیرا این شکل ها در واقع نمادی گرافیکی از مسأله هستند .نتایج این تحقیقات تأیید می کند که نمادها نقش مهمی در فکر کردن به ریاضـی ایفا می کنند و به درک بهتر مفاهیم ریاضی کمک کرده و با تحریک فکر ، آن را برای رسیدن به راه حل مسائل یاری می دهند . + نوشته شده در جمعه هفدهم دی 1389ساعت 21:38 توسط ابراهیم فرمانی شجاعت | نظر بدهید اهداف آموزش ریاضی
اهداف آموزش ریاضی
شاید مناسب باشد در زمانی که ریاضی دانان در دانشگاه ها و مؤسسات عالی، تصمیمات مهمی را درباره برنامه ریاضی مدرسه ای می گیرند، حرف های پروفسور جورج پولیا را بشنویم. جورج پولیا، ریاضی دان و استاد برجسته دانشگاه استانفورد بود که اثرات مهمی در توسعه نظریه احتمالات، نظریه اعداد، نظریه توابع و حساب تغییرات به وجود آورده است. او مؤلف و به وجود آورنده آثار ماندگاری هم چون: چگونه مسأله را حل کنیم، ریاضیات و استدلال های محتمل و خلاقیت ریاضی می باشد. این آثار، دانشجویان را تشویق و ترغیب کرد تا مسأله حل کن، اندیشمند و مستقل شوند. او عضو افتخاری فرهنگستان مجارستان، جامعه ریاضی لندن، جامعه ریاضی سوئیس، و عضو فرهنگستان ملی علوم آمریکا، فرهنگستان علم و هنر آمریکا و شورای ریاضیات کالیفرنیا، و عضو فرهنگستان علوم پاریس بود.
ما دو نوع هدف در مدارس داریم، هدف های خوب و هدف های محدود. مدارس باید افراد بزرگسالی را که واجد شرایط کار و استخدام هستند تربیت کنند، بزرگسالانی که می توانند جای یک شغل خالی را پر کنند. اما هدف متعالی تر، توسعه تمام منابع درونی کودک در حال رشد به گونه ای است که بتواند شغلی به دست آورد که برای او مناسب ترین باشد. پس مجددا تأکید می کنم که هدف متعالی تر، توسعه تمام منابع درونی کودک است.
بخش اول
میخواهم با شما درباره تدریس ریاضی در مدارس ابتدایی صحبت کنم. در واقع، حرف های من شامل دو بخش خواهد بود. در بخش اول درباره اهداف تدریس ریاضی در مدارس ابتدایی صحبت می کنم، و در بخش دوم، به چگونگی تدریس ریاضی می پردازم.
تدریس، یک علم نیست، بلکه یک هنر است. اگر تدریس یک علم بود، بهترین روش تدریس وجود داشت و همه باید مانند آن، تدریس می کردند. اما چون تدریس یک علم نیست، آزادی عمل بسیار و احتمال بیش تری برای تفاوت های شخصی وجود دارد.
حال درباره تدریس ریاضی چه می توان گفت؟ تدریس ریاضی در مدارس ابتدایی، یک هدف خوب و محدود را دنبال می کند که کاملاً واضح و آشکار است. یک فرد بزرگسال کاملا بی سواد، قابل استخدام شدن در یک جامعه مدرن نیست. هر کسی تا حدودی، باید بتواند بخواند، بنویسد و حساب کند و شاید هم باید اندکی بیش تر از این ها بداند. در نتیجه، هدف خوب و محدود مدارس ابتدایی، تدریس مهارت های حسابی، یعنی جمع، تفریق، ضرب، تقسیم و شاید کمی بیش تر از این ها، و هم چنین، تدریس کسرها، درصدها، نسبت ها، و شاید بیش تر از اینهاست. هر کسی باید تا حدودی بداند که چگونه می توان طول، مساحت و حجم چیزی را اندازه گرفت. این هدف خوب و محدود مدارس ابتدایی است، یعنی انتقال این دانش و هرگز نباید این را فراموش کنیم.
با این حال، یک هدف متعالی تر هم داریم. می خواهیم که تمام منابع کودک در حال رشد را پرورش دهیم، و نقشی که ریاضی بازی می کند، بیش تر درباره تفکر است. ریاضی یک مکتب تفکر است. اما تفکر چیست؟ برای مثال، تفکری که می توانید در ریاضی یاد بگیرید این است که از پس تجرید برآیید. ریاضی درباره اعداد است. اعداد یک تجرید هستند.وقتی یک مسأله عملی را حل می کنیم، از آن مسأله عملی، ابتدا باید یک مسأله انتزاعی درست کنیم. ریاضی مستقیماً در تجرید کاربرد دارد. قسمتی از این ریاضیات، باید کودک را قادر سازد که حداقل، با تجرید رودررو شود و از عهده ساختارهای انتزاعی برآید. در حال حاضر، ساختار، یک کلمه مورد پسند است.
شما باید تمام شخصیت دانش آموز را پرورش دهید و تدریس ریاضی به خصوص، باید تفکر را پرورش دهد. هم چنین تدریس ریاضی می تواند شفافیت و مداومت را توسعه دهد. اگر چه ریاضی می تواند تا حدودی، منش را پرورش دهد، اما مهم ترین نقش آن، توسعه تفکر است.
اما نکته ای هست که حتی از این هم مهم تر است. همان طور که می دانید، ریاضی یک ورزش بدون تماشاگر است. فهمیدن ریاضی به معنی انجام دادن ریاضی است، اما انجام دادن ریاضی به چه معنی است؟ در وهله اول، انجام دادن ریاضی یعنی توانایی حل مسایل ریاضی. برای اهداف متعالی تر، تعدادی شیوه های عمومی برای مسایل وجود دارد، داشتن یک طرز فکر و تلقی صحیح نسبت به مسایل و توانایی حمله به همه نوع مسأله، نه فقط مسایل خیلی ساده که با مهارت های کسب شده در مدارس ابتدایی قابل حل هستند، بلکه مسایل پیچیده تر مهندسی، فیزیک و غیره که در دبیرستان، گسترده تر خواهند شد. اما مبانی آن، می تواند از مدارس ابتدایی شروع شود. به این ترتیب، نکته اساسی در مدارس ابتدایی، آشنا کردن کودکان با تاکتیک های حل مسأله است، نه این که این نوع مسأله یا آن نوع مسأله را حل کنند و یا این که تقسیمات متوالی و مانند آن را انجام دهند، بلکه به این معنا که یک طرز تلقی عمومی برای حل مسأله در کودکان ایجاد کنیم.
بخش دوم
چون تدریس یک علم نیست، آزادی عمل بسیار و احتمال بیش تری برای تفاوت های شخصی وجود دارد. در یک دست نوشته قدیمی بریتانیایی، جمله زیر وجود داشت، " موضوع هر چه باشد، آن چه که معلم واقعا درس می دهد، مختص خودش است. "
به تعداد معلمان خوب، تدریس های خوب وجود دارد. شاید اولین نکته ای که همگان قبول دارند، این باشد که تدریس باید فعال باشد، یا به عبارت صحیح تر، یادگیری باید فعال باشد، که این، اصطلاح بهتری است.
شما نمی توانید تنها به وسیله خواندن، یاد بگیرید. نمی توانید تنها با گوش کردن به سخنرانی ها، یاد بگیرید. نمی توانید تنها با نگاه کردن به فیلم ها، چیزی یاد بگیرید. شما باید از عمل و ذهن خود چیزی به آن ها اضافه کنید تا یاد بگیرید. می توانید این روش را روش سقراطی بنامید، چرا که در دو هزار سال پیش، سقراط می گفت که فکر و ایده، باید در ذهن دانش آموز زاده شود و معلم باید به عنوان یک ماما عمل کند .اندیشه باید در ذهن دانش آموز به صورت طبیعی زاده شود و ماما نباید زیادی و پیش از موعد مقرر دخالت کند. اما اگر وضع حمل طول بکشد، ماما باید دخالت کند. این یک اصل بسیار قدیمی است و یک اسم مدرن برای آن وجود دارد؛ روش اکتشافی. دانش آموز به وسیله عمل، خودش یاد می گیرد. مهم ترین عمل، نوعی از یادگیری است که خود، آن را کشف کنید. این مهم ترین قسمت تدریس خواهد بود. یعنی اگر شما خودتان چیزی را کشف کنید، آن یادگیری ماندگارتر است و درک آن نیز، عمیق تر است.
اصول دیگری هم برای تدریس وجود دارد. اگر شما کلمه اصول را دوست ندارید، از واژه " قوانین سرانگشتی" استفاده کنید. یادگیری باید فعال باشد. اصل دیگری که به وسیله تمام مربیان بزرگ و معروف؛ به وسیله سقراط، افلاطون، کمنیوس، مونته سوری گفته شده است، وجود اولویت های خاص است. برای مثال، اشیا قبل از کلمات ظاهر می شوند و نظایر آن. این جمله بارها و بارها و در اشکال مختلف، بیان شده است. اما اجازه دهید از کانت نقل قول کنم که گفت: " تمام شناخت انسان، با شهود آغاز می شود، سپس به فهم و درک منجر شده و بالاخره به ایده ها ختم می شود. یادگیری با عمل و آگاهی شروع می شود، به کلمات و مفاهیم می رسد و باید به عادت های ذهنی خوب،ختم شود.
این، هدف عمومی تدریس ریاضی است، توسعه عادت های ذهنی خوب در هر دانش آموز تا حد امکان، به طوری که از پس هر نوع مسأله برآید.
پس " می شنوم و فراموش می کنم." چیزهایی که فقظ می شنوید، سریع فراموش می کنید. نصیحت خوب، به سرعت فراموش می شود. چیزهایی که با چشمان خودتان می بینید، بهتر به خاطر آورده می شود، اما وقتی که آن را با دست های خودتان انجام می دهید، واقعاً آن را درک می کنید. بنابراین، شعار این است که: " می شنوم و فراموش می کنم. می بینم و به خاطر می آورم. انجام می دهم و می فهمم"
شما باید تمام شخصیت دانش آموز را پرورش دهید و تدریس ریاضی به خصوص، باید تفکر را پرورش دهد. هم چنین تدریس ریاضی می تواند شفافیت و مداومت را توسعه دهد. اگر چه ریاضی می تواند تا حدودی، منش را پرورش دهد، اما مهم ترین نقش آن، توسعه تفکر است.
نظر من این است که مهم ترین قسمت تفکر که در ریاضی پرورانده می شود، طرز تلقی صحیح در برخورد با مسأله ها و دست و پنجه نرم کردن با آن هاست. مسایلی در زندگی روزانه داریم. مسایلی در علوم داریم. مسایلی در سیاست داریم. همه جا مسایلی داریم. طرز تلقی صحیح نسبت به تفکر، ممکن است از حیطه ای به حیطه دیگر متفاوت باشد، با این حال، ما فقط یک سر داریم، و بنابراین، طبیعی است که بالاخره، باید فقط یک روش برای دست و پنجه نرم کردن با انواع مسایل وجود داشته باشد.
نظر شخصی من این است که نکته اصلی در تدریس ریاضی، رشد و توسعه تاکتیک های حل مسأله است.
در تمام جهت گیری های تدریس ریاضی که اکنون موسوم هستند و تأثیر گذار هم می باشند، دو اصل یادگیری فعال، اولویت عمل و آگاهی، مورد توجه قرار گرفته اند.
بنابراین امروز، مدارس مخصوصاً مدارس ابتدایی، در حال تطور و تکامل هستند. در حال حاضر، درصد قابل توجهی، حدود ده تا بیست درصد مدارس، روش جدیدی برای تدریس دارند که می توان در مقایسه با روش قدیمی تدریس، ویژگی های آن را به صورت زیر بیان کرد: شیوه قدیمی تدریس، آمرانه و معلم محور است، شیوه جدید تدریس، منعطف و دانش آموز محور است. در زمان های قدیم، معلم در مرکز یا جلوی کلاس بود. همه به او و چیزی که می گفت، نگاه می کردند. امروزه، تک تک دانش آموزان باید در مرکز کلاس باشند، و باید اجازه داشته باشند که هر ایده خوبی را که به ذهنشان می رسد، انجام دهند. باید به آن ها اجازه داد تا این ها را به روش خودشان و به تنهایی یا در گروه های کوچک، دنبال کنند. اگر در بحث کلاسی، دانش آموزی ایده جالبی داشت، در آن صورت، معلم برنامه خود را عوض می کند و وارد آن ایده خوب می شود و پس از آن، کلاس، آن ایده را ادامه می دهد.
در یک چنین کلاس منعطف و دانش آموز محوری، هر گروه از بچه ها کار متفاوتی انجام می دهد. آن ها بازی می کنند ( آن ها فکر می کنند که بازی می کنند، اما در واقع در حال یادگیری هستند. )
معلم به آن ها مواد مختلف می دهد. مدت زمان کلاس، شامل دادن مواد گوناگون به بچه هاست. آن ها بازی می کنند و ایده های خود را در حین بازی، رشد و توسعه می دهند. برای مثال، یکی از این مواد، کاغذ شطرنجی و تعداد قابل توجهی مکعب است، تعداد بسیار زیادی مکعب هایی به ضلع نیم اینچ، شاید صد دوجین. به این ترتیب، بچه ها با آن ها بازی می کنند. این تدریس، همراه با فعالیت است، تدریس به وسیله عمل و آگاهی.
یک نمونه برای این فعالیت: کلاس درباره مستطیل های کوچک بحث می کند. نکته اصلی این است که مستطیل باید توسط عمل و تصور فهمیده شود.
درک مفهوم مستطیل باید از چیزهایی که بچه ها قبلاً به قدر کافی دیده و لمس کرده اند، حاصل شود. مثلا، همه بچه ها یک اتاق را دیده اند و دیوارهای یک اتاق معمولی، مستطیل یا تقریباً مستطیل شکل هستند. پس بچه ها یاد می گیرند که مستطیل چیست. کف یک اطاق معمولی مستطیل است. هر دیواری یک مستطیل است. سقف اطاق به شکل مستطیل است. درنتیجه، یکی از اهداف خوب تدریس، درک مفهوم طول و مساحت است. طول مستطیل ها را اندازه می گیرند و به مفهوم محیط مستطیل میرسید. سپس به مسأله مساحت مستطیل ها می پردازید. مستطیل ها را از مربع های برابر،می سازید و به ایده مساحت می رسید. به هر حال، ما الآن در کلاسی هستیم که تا حدودی با مفاهیم مساحت و محیط، آشنا است. روی همان برگ کاغذ، مستطیل هایی را که با یکدیگر همپوشانی دارند و محیط آن ها یکسان است، رسم کنید. مثلاً محیط 20 باشد. متوجه می شوید که با این محیط، 9 مستطیل وجود دارد. این مستطیل ها با عرض 1 و ارتفاع 9 شروع می شوند و سپس، عرض 2 و ارتفاع 8 و به همین ترتیب تا عرض 9 و ارتفاع 1.
چیزهای زیادی برای مشاهده کردن وجود دارد، عمل و آگاهی. بعضی از بچه ها از مشاهده این که تمام گوشه های این مستطیل ها روی یک خط راست هستند، شوکه می شوند .پس متوجه خواهند شد که یکی از این مستطیل ها، دوضلعش با هم برابرند، و شما می توانید سؤال های زیادی درباره این مستطیل بپرسید. یکی از نکات جالب این است که معلم نباید سؤال کند، بلکه بچه ها باید سؤال کنند. محیط همه مستطیل ها یکسان است.آیا مساحت هایشان هم یکسان است؟ کدام یک بیش ترین مساحت را دارد؟
در این جا، فعالیت دیگری با مستطیل ها آورده شده است. دوباره کاغذ شطرنجی را بگیرید و مستطیل های متفاوت را با مساحت یکسان مثلاً 24 واحد مربع، ببرید. آن ها را روی یک برگ کاغذ در کنار هم قرار دهید. حالا گوشه های مقابل گوشه ای که در آن با یکدیگر همپوشانی دارند، روی یک خط راست نیست، یک خط منحنی جالب درست شده است.
بچه ها با قوه تخیل قوی خود، این ها را به هم وصل می کنند تا خطوط منحنی درست کنند. پس این نیز، یک ملاحظه دیگر می طلبد. این نمونه ای از یک فعالیت با مستطیل هاست که بچه ها انتخاب خودشان را دارند. آن ها اظهارات خود را بیان می کنند و معلم، فقط اندکی به آن ها کمک می کند یا سرنخ می دهد. اگر بچه ها هیچ ایده ای نداشته باشند، در این صورت یک معلم خوب آموزش دیده که به تدریس دانش آموز محور، خو گرفته است، می تواند چند سرنخ به آن ها بدهد.
شاید نکته ای که بنیاد نوفیلد به قدر کافی بر آن تأکید نمی کنند، قاعده حدس زدن است. حدس زدن به طور طبیعی به سراغ ما می آید. هر کسی سعی می کند که حدس بزند و لازم نیست که حدس زدن به او آموزش داده شود. چیزی که باید آموزش داده شود، حدس منطقی است،و مخصوصاً چیزی که باید آموزش داده شود، این است که به فرد اعتماد نکنید و آن ها را، آزمایش کنید. اگر با حدس زدن شروع کنید، فعالیت دانش آموزان بهتر شروع می شود.
در این جا مثالی از یک فعالیت اندازه گیری طول و عرض کلاس می زنم. ممکن است برای تعدادی از بچه ها که قبلاً با معلم سابق خود این فعالیت را انجام داده باشند، انجام دوباره آن کسالت بار باشد. اگر با یک حدس شروع کنید، می توانید اندکی توجه آن ها را جلب کنید. ممکن است به کلاس بگویید، " به نظر می رسد که طول این کلاس دوبرابر عرضش باشد. واقعاً این طور است؟" امیدوارم بعضی از بچه ها بگویند: " نه طول آن از دوبرابر عرضش بیش تر است". عده دیگر خواهند گفت: " نه، کوتاه تر است ". تعداد بسیار کمی هم خواهند گفت: " دقیقا ". بعد از این حدس ها، بچه ها اندازه گیری را با علاقه بسیار بیش تری انجام خواهند داد، زیرا هر کسی علاقه مند است بداند که حدس او درست است یا خیر. این یک مورد بسیار خاص در مورد تاکتیک های حل مسأله است. اگر کمی در این مورد تعمیق کنید، متوجه خواهید شد که حدس زدن، نقش مهمی را بازی می کند. به طور طبیعی، همیشه راه حل یک مسأله، با یک حدس شروع می شود، نه همیشه با یک حدس خوب. برعکس، معمولاً حدس همیشه به طور کامل، خوب نیست. این یعنی اندکی از مدار خارج شدن، و هنر حل مسأله تا حد زیادی، شامل تصحیح کردن حدس های شماست.
منبع اصلی
http://mathematicallysane.com/horne
سخنران: جورج پولیا
مترجمان: علیرضا طالب زاده، مرکز آموزش ضمن خدمت میاندوآب
زهرا گویا، دانشگاه شهید بهشتی مجله رشد
+ نوشته شده در جمعه هفدهم دی 1389ساعت 21:14 توسط ابراهیم فرمانی شجاعت | نظر بدهید بخش پذیری
بخش پذیری اعداد
اگرعددی را بر عددی تقسیم کنیم و باقی مانده تقسیم صفر شد می گوییم بر آن عدد بخش پذیر است .
· تمام اعدادبر عدد یک بخش پذیرند .
· عددی بر عدد 2 بخش پذیر است که رقم یکان آن زوج باشد .
· عددی بر 3 بخش پذیر است که مجموع ارقام آن بر 3 بخش پذیر باشد .
· عددی بر 4 بخش پذیر است که دو رقم سمت راست آن بر 4 بخش پذیر باشد یا دو رقم آخر صفر باشد .
· عددی بر 5 بخش پذیر است که رقم یکان آن صفر یا 5 باشد.
· عددی بر6 بخش پذیراست که هم بر 2و هم بر 3 بخش پذیر باشد .
· عددی بر 7 بخش پذیر است که :
1- اگر رقم اول سمت چپ آن را در 3 ضرب کرده با رقم دوم سمت چپ جمع کنیم حاصل را بر 7 تقسیم کنیم سپس باقی مانده تقسیم را در دو ضرب کنیم و با رقم سوم از سمت چپ جمع و حاصل را بر 7 تقسیم کنیم با قی مانده برابر با مضربی از 7 یا صفر باشد .
2- رقم یکان را دو برابر کنیم از بقیه ارقام کم کنیم باقی مانده صفر یا مضربی از 7 باشد .
عددی بر 8 بخش پذیر است که سه رقم سمت راست آن بر 8 بخش پذیر است .
عددی بر 9 بخش پذیر است که مجموع ارقام آن بر 9 بخش پذیر است .
عددی براست 10 بخش پذیر است که رقم یکان صفر باشد .
عددی بر 11 بخش پذیر است که اختلاف مجموع ارقام مرتبه زوج یا مجموع ارقام فرد بر 11 بخش پذیر باشد .
عددی بر 12 بخش پذیر است که هم بر 3 و هم بر 4 بخش پذیر است .
عددی بر 13 بخش پذیر است که چهار برابر یکان ر با بقیه اعداد جمع کنیم حاصل بر 13 بخش پذیر باشد . 39 = 19+20 20 =4 × 5 195
عددی بر 15 بخش پذیر است که هم بر 3 و هم بر 5 بخش پذیر باشد .
عددی بر 17 بخش پذیر است که اگر رقم یکان آن را 5 برابر کنیم و اختلاف آن را با بقیه ارقام حساب کنیم عدد حاصل بر 17 بخش پذیر باشد .
34 =11-45 45=5×9 119
عددی بر 19 بخش پذیر است که مجموع دو برابر رقم یکان با بقیه ارقام بر 19 بخش پذیر باشد .
عددی بر 23 بخش پذیر است که مجموع 7 برابر رقم یکان با بقیه ارقام مضربی از 23 باشد .
عددی بر 27 بخش پذیر است که اگر آن را بر 3 تقسیم کنیم خارج قسمت بر 9 بخش پذیر باشد . + نوشته شده در جمعه هفدهم دی 1389ساعت 21:10 توسط ابراهیم فرمانی شجاعت | نظر بدهید روش تدریس ریاضی
روش تدریس ریاضی
بحث در روش تدريس رياضي به زمان ما منحصر نمي شود. از هنگامي كه تدريس رياضي مطرح بوده است، روش تدريس آن نيز مورد بحث و مطالعه بوده است. با مطالعه تاريخ آموزش و پرورش، ملاحظه مي كنيم كه همواره دو نوع آموزش درمقابل هم قرار داشت هاند. دسته اول، روشهاي تدريس سنتي، كه در گذشته هاي دور به كار مي رفته اند و دسته دوم، روشهاي مبتني بر يافته هاي روانشناسي است كه به طور عمده از قرن بيستم به بعد تكوين يافته اند و به روشهاي جديد شهرت دارند. از ميان روشهاي سنتي مي توان از روش سقراطي و روش مكتبخانه اي در ايران و ديگر كشورهاي اسلامي نام برد. از روش هاي جديد در تدريس رياضي مي توان به روش توضيحي، روش سخنراني، روش اكتشافي، روش حل مساله، روش بحث در كلاس، روش پرسش و پاسخ، روش فعال، روش قياسي و استقرايي آموزش مهارتهاي فراشناختي نام برد. در اين فصل انواع روشهاي تدريس رياضي كه به پنج دسته، روش كلامي، روش مكاشفه اي، روش مفهومي، روش فعال و روش الگوريتمي مورد بررسي و نقد قرار مي گيرند. در پايان اين فصل از خوانندگان انتظار مي رود كه بتواند با تكيه بر انواع روشهاي تدريس ذكر شده، در يك يا چند موضوع درسي، تدريسي را طراحي نمايند و در صورت امكان آن را اجرا نمايند تا به نقاط قوت و ضعف خود آشنا شوند و نقاط قوت خود را در تدريس هاي بعدي، پر رنگ تر نموده و برضعف هاي خود چيره شوند.
2-1 روش كلامي (زباني)
در اين روش معلم به اصطلاح متكلم وحده است. همه چيز را بيان مي كند، قواعد را بررسي مي كند، نتيجه گيري مي كند و طراح مساله است. خلاصه معلم همه كاره و دانش آموز هيچ كاره است. معلم مساله گو و شاگرد مساله حل كن، معلم متكلم و شاگرد مستمع است. اين نكته جالب است كه طرفداران اين روش دو گروه مخالفند، عده اي موافق روش زبان ماشيني و عده اي موافق روش زباني استدلالي هستند.
الف) روش تدريس زبان ماشيني (قاعده گويي):
اين گروه اعتقاد دارند كه دانستن قواعد و فنون محاسبه براي دانش آموزان كافي است. اگر دانش آموز ادامه تحصيل دهد آنگاه برايش استدلال خواهد شد و مطالب را خواهد فهميد و در صورتي كه ادامه ندهد اين محاسبات هست كه به دردش مي خورد و چه كار دارد كه چرا فلان مطلب چنين است و چنان نيست. حسن اين روش در آن است كه تدريس به سرعت انجام مي شود ولي معايب آن عبارتند از:
1- دانش آموز قواعدي را بدون آنكه آنها را درك كرده و منطقي بودن آنها را پذيرفته باشد، آنها را حفظ مي كند و به همين سرعت هم فراموش مي كند.
2- نسبت به مطالبي كه مي خواند احساس بيگانگي مي كند و نسبت به آنچه ياد گرفته است علاقه اي نشان نمي دهد.
3- اين آموزش پاسخگوي نيازهاي طبيعي دانش آموز به كنجكاوي و حقيقت جويي نمي باشد.
4- طرفداران اين روش جالب پرورش را به طور كلي ناديده مي گيرند.
ب) روش تدريس زبان استدلالي:
طرفداران اين شيوه برخلاف گروه قبل تدريس رياضي را توام با استدلال قبول دارند. آنها معتقدند كه رياضي با منطق آميخته است. پس بايد با استدلال و برهان به امر تدريس رياضي همت گماشت. ابتدا بايد تعريف و اصول گفته شود و به دنبال آن مي توان نتيجه گيري ها را با استفاده از قوانين منطق آغاز نمود. حسن اين روش آن است كه با طبيعت رياضي سازگاري دارد ولي معايب آن عبارتند از:
1- از روش استدلالي در هر سني نمي توان استفاده نمود.
2- قدرت ابتكار رشد نمي كند و دانش آموز جستجوگر نخواهد شد.
3- معلم و شاگرد به تدريج از جهان واقعي دور مي شوند.
نقد و خلاصه روش هاي كلامي (زباني):
روشهاي زباني همان طور كه از نامشان پيداست، بر زبان و كلام معلم تكيه دارد. در اين روشها، معلم و مدرس متكلم وحده است و كمتر مجال سئوال كردن، توضيح دادن، درك و فهم واقعي به دانش آموزان داده مي شود.
تنها مزيت ظاهري روشهاي زباني اين است كه تصور مي شود كه دانش آموزان به ظاهر در درس پيش مي روند. اين باور درست نيست، زيرا در دراز مدت، اثرات نادرستي در پرورش فكر و استعداد دانش آموزان مي گذارد و در سنين بالاتر اگر مطالب رياضي را دير مي فهمند، علت عمده اش اين است كه قبلا در آموزش مطالب بنيادي به آنها عجله كرده ايم. به عبارت ديگر، در مراحل بعدي آموزش، دانش آموزان ناچارند از معلوماتي استفاده كنند كه قبلاً آنها را خوب فرا نگرفته و به درستي نفهميده اند.
2-2 روش اكتشافي
يادگيري اكتشافي فرايندي است كه دانش آموز به طور مستقل و با راهنمايي معلم يا بدون آن، اصل يا قانوني را كشف نموده و مساله اي را حل مي كند. ويژگي عمده روش اكتشافي، درجه و ميزان راهنمايي شدن شاگرد (به وسيله معلم) براي اكتشاف است كه اين ويژگي به عواملي مانند استعداد دانش، مهارت شاگرد و درجه دشواري خود مساله بستگي دارد و مي تواند در چهار محدوده قرار گيرد.
1- معلم مي تواند اصول و راه حل مساله را براي شاگرد توضيح دهد، اما پاسخ مساله را نگويد (در اينجا معلم از روش توضيحي بهره مي گيرد)؛ اين نوع راهنمايي براي دانش آموزان ضعيف ضرورت مي يابد.
2- معلم مي تواند فقط اصولي را كه براي كشف آن به كار مي رود به شاگرد توضيح دهد، اما راه حل و جواب مساله را در اختيار او قرار ندهد.
3-معلم مي تواند اصول را ارائه ندهد؛ اما راه حل را بگويد.
4- معلم مي تواند اصول و راه حل را به شاگرد نگويد؛ كه آن را يادگيري راهنمايي نشده مي ناميم.
از آن جايي كه اين روش بر پاسخ مداوم دانش آموزان به سئوالات مختلف در كلاس درس تا حدودي متكي است، لذا تدريس به وسيله آن مشكل است و لذا معلم نياز به صبر بيشتر و وقت زيادتري دارد و نقش معلم در اين روش هدايت نمودن دانش آموزان در ارتباط دادن مطالب جديد با تجارب و محفوظات گذشته نشان مي باشد. حدسيات، تخمين ها و آزمايش و خطا، آزمايشهايي هستند كه در روش اكتشافي براي يافتن ايده هاي جديد و ارتباط آنها با مفاهيم گذشته به كار مي روند.معلم با طرح سئوالات مناسب مي تواند جواب هاي نادرست دانش آموزان را به سمت جواب هاي درست هدايت نمايد. معلم بايد كلاس را در جهت صحيح و مسير معيني حفظ نمايد به طوري كه از حالت كاوش و پويايي شاگردان كاسته نشود. در اين روش، معلم دانش آموزان را وادار به فكر كردن مي كند و آنها را براي رسيدن به پاسخ درست تشويق مي نمايد لذا دانش آموز در فرايند يادگيري سهيم است.
تكنيك هاي تدريس به روش مكاشفه اي:
1- معلم، سئوالي را براي بررسي كردن به دانش آموزان ارائه مي نمايد. معلم بايد اطمينان حاصل كند كه دانش آموزان مساله را فهيمده اند و بدانند كه دنبال چه چيزي مي گردند و چگونه بايد اين راه را ادامه دهند و چگونه مسير درست را انتخاب نمايند.
2-معلم فكر كردن را در دانش آموزان با گفتگو و پرسش برانيگزاند و از آنها بخواهد با ارائه مثال ها و نامثال ها، مساله را دنبال كنند.
3-معلم فعاليت هايي طرح ريزي نمايد كه الگوهاي جديد را ايجاد نمايد.
4- معلم از مدل هاي مختلف آموزشي و ابزار كمك آموزشي باري تدريس بهره برد.
5- در ارزشيابي نيز از مسايل استفاده نمايد كه توانايي آنها را در كشف مقاصد جديد بسنجد.
6-از نتيجه گيري سريع براساس يك يا دو نمونه به عنوان شاهد خوددداري كنيد.
اكتشاف يك مطلب در كلاس درس بايد روال منطقي داشته باشد و تا حدودي نمايانگر يك مكاشفه واقعي با محيطي منطقي باشد.
7- دانش آموزان را به طور مرتب در جريان پيشرفت هايشان قرار دهيد.
محاسن روش اكتشافي از ديدگاه برونر:
1- يادگيري اكتشافي، توانايي ذهني دانش آموزان را تقويت مي كند.
2- يادگيري اكتشافي، انگيزه دروني دانش آموز را افزايش مي دهد، زيرا در اين يادگيري شاگرد به طور خودجوش فعاليت هاي آموختن را دنبال مي كند و پاداشي هم كه مي گيرد، از فعاليت هاي خود اوست.
3- يادگيري اكتشافي، فنون اكتشاف را به شاگرد مي آموزد و او را خلاق و كاوشگر بار مي آورد.
4- يادگيري اكتشافي موجب دوام بهتر آموخته ها مي شود. زيرا دانش آموز خود آموخته هايش را سازمان مي دهد و مي داند كه چه موقع و چگونه آنها را به دست آورد.
5- از آنجا كه در اين روش از مشاهده اشكال، اشيا، و تصاوير براي تدريس استفاده مي شود. درك حقايق و روابط را تا حدي براي دانش آموزان آسان مي كند.
معايب روش اكتشافي:
1- قدرت استدلال و ارتباط بين مفاهيم كم مي شود.
2- اين روش بسيار وقت گير است.
3- طرفداران اين روش اهميت فوق العاده اي به احساس و ادراك مي دهند اما بايد توجه داشت كه بعضي از مفاهيم رياضي (مانند اعداد منفي) را نمي توان از راه حواس درك نمود.
4- مكاشفه در بدو امر خوب است ولي نتيجه اساسي نه از راه مكاشفه بلكه از كوششي كه در نباله اين رغبت براي توضيح و تنظيم روابط صورت مي گيرد، حاصل مي شود. به عنوان مثال نيوتن با مشاهده سقوط سيب از درخت، وجود رابطه اي بين زمين و اجسام پيرامون آن را احساس كرد (مكاشفه) ولي مشاهدات مذكور به تنهايي ارزش چنداني نداشت و اگر به همين جا خاتمه يافته بود، هيچ نتيجه عملي از آن به دست نمي آمد.
5- اگر هر تصوري را به كمك شكل و به طور يكنواخت به دانش آموزان عرضه كنيم، بيم آن مي رود كه ذهن آنها، به جاي رابطه مورد نظر، توجه شان به شكل يا تصوير جلب شود و به كلي از حقيقي كه در نظر داريم بي اطلاع بماند.
2-3- روش مفهومي
در اين روش بيشتر تاكيد بر مفاهيم رياضي است و تكيه كمتري بر مهارت ها مي شود. ما معتقديم كه تكيه بيش از حد بر يكي، ما را از ديگري دور مي سازد لذا يايد به طور متعادل بين مفاهيم و استفاده از روش ها تاكيد نمود. ذكر اين نكته ضروري است كه تا هنگامي كه مفاهيم در ذهن دانش آموزان شكل نگرفته است، نبايد به سراغ تكنيك ها و مهارت ها رفت. تفاوت روش مفهومي با روش الگوريتمي نيز از همين جا ناشي مي شود كه در روش مفهومي تكيه بر مفاهيم است و در روش الگوريتمي تكيه بر مهارت ها و تكنيك هاست.
2-4- روش فعال
در اين روش، هدف اين است كه دانش آموزان در فرايند آموزش و پرجنب و جوش باشند. البته، هيچ روشي به طور محض غيرفعال نيست. براي مثال، در روش سخنراني، معلم فعال و دانش آموزان ظاهراً غيرفعالند اما در حقيقت، به طور ذهني فعالند؛ زيرا به سخنان معلم گوش مي كنند و درباره مطالب آن مي انديشند و يادداشت برمي دارند.
برخلاف روش هاي منفعل كه « معلم محور» است روش فعالي « دانش آموز محور» است. دانش آموز درامر يادگيري شركت فعال دارد، با مسايل مواجه مي شود، راجع به حل آنها فكر مي كند و با راهنمايي معلم به حل آنها مي پردازد. در اثر كارهاي آموزشي خودش، به مفاهيم پي مي برد. در اين صورت است كه دانش آموز به حل مساله ها علاقه مند مي گردد. موفقيت اين روش، به مهارت معلم و تسلط او به درس همبستگي دارد.
در آموزش به روش فعال هر دانش آموز مطالب را به سرعت خود ياد مي گيرد و فرصت دارد كه به مطالب فكر كند. دانش آموز از طريق حل مساله، طي فرايندي به تدريج به مفاهيم پي مي برد و به جاي آنكه شاهد را رفتن معلم باشد خود قدم به قدم راه رفتن را تمرين مي كند و مي آموزد. با پي بردن به توانايي هاي خود، در او حس اعتماد به نفس تقويت مي شود چون در به دست آوردن نتيجه ها و كشف قواعد سهيم است و نسبت به مطالب احساس علاقه و مالكيت مي كند و ميل به دانش افزايي در او باور مي شود، در جريان كار فعال، دانش آموز رشد مي كند و تفكر منطقي را تقويت مي كند. در اين روش وظايف معلم عبارتست از توجه به كار يكايك دانش آموزان و دادن راهنمايي در موارد لازم، علاقه مند كردن آنها به كار و فعاليت درسي، شناخت دانش آموزان و پي بردن به توانايي آنها و از همه مهمتر قدم به قدم پيش بردن دانش آموز براي يادگيري يك مطلب درسي جديد طي مراحل مختلف آن. وظيفه دانش آموز هم فهاليت و كارآموزي و كاوشگري در حد توانايي خود مي باشد.
سه اصل آموزش به روش فعال:
معلم بايد بداند كه روند يادگيري چگونه جريان دارد و راه هاي ثمربخش را انتخاب كند. سه اصل براي تدريس ثمربخش وجود دارد كه عبارتند از:
1- اصل يادگيري فعال (كشف موضوع توسط خود دانش آموز ضمن انجام فعاليت هاي مناسب): البته آنچه در كلاس مورد توجه ملعم است اهميت دارد، ولي هزار بار مهم تر از آن، چيزي است كه مورد توجه دانش آموز است. انديش ها بايد از ذهن خود دانش آموز بيرون بيايد. در اين ميان نقش معلم را مي توان با نقش ماما و قابله مقايسه كرد.
اين، نصيحت رسمي سقراط است. گفتگوي سقراطي، بهترين شكل آموزش با بهترين نتيجه است. درست است كه ميزان وفتي كه، در مدرسه، براي هر ماده درسي گذاشته اند، محدود است كه با اين روش همه درس ها را نمي توان ارائه نمود ولي با همه اين، اصل قديمي ما به قوت خود باقي است كه مي گويد: «با همين امكان هايي كه داريد، حداكثر تلاش خود را به كار بريد، تا خود دانش آموزان، در جريان كشف، شركت داشته باشند».
اگر دانش آموز در تنظيم صورت مساله هايي كه بايد حل كند، شركت داشته باشد، خيلي فعالتر خواهد كوشيد. معلم بايد شرايطي را فراهم آورد كه دانش آموز بتواند مساله هاي خودش را طرح كند چون باعث خواهد شد كه نيروي خلاقيت او شكوفا شود.
2- اصل بهترين انگيزه: معلم بايد خودش را واسطه اي بداند كه مي خواهد مقداري از رياضياتي را كه مي داند، در اختيار دانش آموزان قرار دهد. اگر واسطه اي در عرصه جنس خود با مشكلي روبرو شود و كالايش روي دستش بماند يا خريداران از خريد كالاي او سرباز زنند، نبايد تقصير را به گردن خريداران بيندازد. به خاطر داشته باشيد كه، معمولاً حق با خريدار است. دانش آموزي كه از يادگرفتن رياضيات سرباز مي زند، ممكن است حق داشته باشد. هيچ دليلي وجود ندارد كه شاگرد شما، تنبل يا كم هوش باشد. بلكه خيلي ساده، ممكن است به چيز ديگري علاقه مند باشد. آخر، دنياي ما پر از چيزهاي جالب است. وظيفه شما، به عنوان يك معلم و به عنوان كسي كه مي خواهد آگاهي ديگران را بالا ببرد، اين است كه دانش آموز را به رياضيات علاقه مند كنيد. بنابراين، معلم بايد تمامي توجه خود را در انتخاب مساله و تنظيم آن به كار برد و آن را به بهترين صورت ممكن، به دانش آموزان عرصه كند. مساله بايد نه تنها از موضع معلم، بلكه از موضع شاگرد هم، جالب باشد. چه بهتر كه بشود درس را، در رابطه با تجربه روزانه شاگردان طرح كرد و آن را به صورت معما درآورد. مساله را مي توان با موضوعي آغاز كرد كه براي دانش آموزان روشن است و چه بهتر كه اين موضوع، امكان كاربرد علمي مساله و يا موضوعي مورد علاقه عموم باشد. اگر مي خواهيم نيروي خلاقيت دانش آموزان را پرورش دهيم نبايد مبنايي در اختيار آنها بگذاريم تا مطمئن شوند تلاش آنها بيهوده و عبث نيست.
به خصوص، علاقه دانش آموز، بهترين انگيزه او در كار است. ولي، انگيزه هاي ديگري هم وجود دارد كه نبايد آنها را از دست داد. از دانش آموز بخواهيم كه نتيجه را حدس بزند، ولو بخشي از آن را، دانش آموزي كه فرضيه اي را ارائه كند، در واقع خود را به آن وابسته كرده است، حيثيت و احساس او در گرو فرضيه اوست و با بي صبري در انتظار آن است كه ببيند حدس او درست است يا نه، او با اشتياق به سرنوشت مساله و كار كلاس علاقه مند مي شود و در آن لحظه ها هيچ چيز ديگري توجه او را به خود جلب نخواهد كرد.
3- اصل تسلسل مرحله ها: عيب اصلي كتاب هاي رياضي دراين است كه تقريباً همه مسال هاي موجود در آنها، از صورت هاي متعارف و عادي انتخاب شده است. منظور از مساله هاي عادي، مساله هايي هستند كه ميدان كاربرد كمتري دارند و تنها به روشن كردن يك قانون خدمت مي كنند و تمرين هاي مناسب براي يك قانون هستند. البته اين مثال ها هم مفيد و هم لازم هستند ولي دو مرحله مهم آموزش در آنها وجود ندارد: مرحله بررسي و پژوهش و مرحله فراگيري. هدف اين دو مرحله اين است كه مساله مورد بررسي را با شرايط موجود و با آگاهي هايي كه قبلا به دست آورده ايم، مربوط مي كند. مساله هاي عادي، اين دو منظور را برنمي آورند، زيرا از قبل معلوم است كه براي روشن شدن قانون معيني طرح شده اند و اهميت آنها، تنها در خدمت كردن به همين قانون است. البته، گاهي در اين مساله ها، به قانون يا قانون هاي ديگري هم توجه مي شود كه در اين صورت، مساله هاي مفيدتري به حساب مي آيند. حقيقت اين است كه بايد در كنار مساله هاي عادي، دست كم گاه به گاه، مساله هاي عميق تري هم به دانش آموزان داده شود، مساله هايي كه زمينه غني تري داشته باشد امكان ورود دانش آموزان به كارهاي جدي تر علمي را فراهم آورد. وقتي مي خواهيد چنين مساله هايي را در كلاس مورد بحث قرار دهيد از همان ابتدا، يك بررسي و پژوهش مقدماتي به دانش آموزان پيشنهاد كنيد. اين كار اشتهاي آنها را در حل مساله و رسيدن به جواب تحريك مي كند. اين مطلب را هم فراموش نكنيد كه مقداري از وقت كلاس را، براي بحث درباره نتيجه اي كه به دست آمده است باقي بگذاريد. يادگيري توسط سه فاز صورت مي پذيرد: فاز اول: دانش آموز حدس و گمان مي زند. فاز دوم: آن را به صورت كلمات در مي آورد. فاز سوم: براي تثبيت يادگيري تمرين و ممارست انجام دهد.
محاسن روش فعال:
1- دانش آموز مفاهيم را درك مي كند.
2- خود را در به دست آوردن نتيجه ها سهيم مي داند و اين در او علاقه ايجاد مي كند و به تدريج احساس توانايي مي كند كه اين خود موجب به وجود آمدن حس اعتماد به نفس در دانش آموز مي شود.
3- اين آموزش نياز به كنجكاوي، پويايي و خلاقيت را برآورده مي سازد و موجب رشد شخصيت در دانش آموز مي شود.
معايب روش فعال:
1- مدتي صرف خواهد شد تا دانش آموز از طريق حل تمرين هاي كار در كلاس و پاسخ به سئوال هاي مناسب مفاهيم را يكي كي بفهمد و به قاعده ها پي ببرد.
2- هر مفهومي را نمي توان با روش فعال آموزش داد.
2-5- روش الگوريتمي:
منظور از روش الگوريتمي، مجموعه دستورالعمل هايي است كه انجام آنها منجر به حصول نتايجي براي دانش آموز گردد. تعدادي از الگوريتم هاي حساب و جبر كه در دوره هاي تحصيلي مورد بحث قرار مي گيرند عبارتند از: چهار عمل اصلي روي اعداد صحيح و اعشاري، تناسب، جذريابي، يافتن بزرگ ترين مقسوم عليه مشترك، نوشتن اعداد به پايه هاي گوناگون، عمليات روي كسرهاي متعارفي، حل معادلات جبري و عمليات جبري روي بردارها در صفحه، در زمينه هندسه نيز به الگوريتم هاي زير بر مي خوريم مانند: ترسيمات با خط كش، پرگار، گونيا و نقاله مثلا در رسم عمود، نضف كردن پاره خط، ساختن مثلث. هر يك از الگوريتم هاي ذكر شده مبتني بر يك يا چند مفهوم رياضي است. از آن جمله اند مفاهيم: نوشتن اعداد در يك پايه، جذر، نسبت، عدد اول، مجموعه. علاوه بر مفاهيم و الگوريتم ها، ركن ديگر كاربرد الگوريتم ها در حل مسايل است.
معايب روش الگوريتمي:
1- تاكيد بيش از حد بر الگوريتم ها شم عددي دانش آموز را كاهش مي دهد. چون كه شم عددي ما را از مرتكب شدن اشتباهات فاحش مصون مي دارد.
2- دانش آموز تقريباً در هيچ مساله واقعي نياز به اين الگوريتم ها را ندارد. مثلاً الگوريتم جذر بهتر است از روش آزمون و خطا در دوره راهنمايي تحصيلي تدريس گردد.
3- معمولاً دليل درستي اين الگوريتم ها مطرح نمي شود.
4- چون اين الگوريتم ها دشوارند و حفظ كردن آنها نيروي فراواني از دانش آموز مي طلبد، محصل به تدريج نسبت به مفهوم اصلي بيگانه مي شود.
5- در حال حاضر كه ماشين حسابهاي دستي ارزان قيمت عمليات رياضي را حتي از انسان سريع تر و دقيق تر انجام مي دهند لذا ضرورتي بر حفظ همه الگوريتم ها نيست.
چند توصيه براي بهبود روش الگوريتمي:
1- به جاي تاكيد بر كسب مهارت در اجراي دقيق دستورالعمل هاي رياضي، تاكيد بيشتري صرف درك مفاهيم گردد و با قرار دادن وقت كافي در اختيار دانش آموز، به او اجازه آزمايش كردن داده شود. دانش آموزي كه وادار شود هر بار با رجوع به مفاهيم اوليه، مسايل قابل فهم خود را حل كند، به تدريج نياز به دستورالعمل را احساس مي كند و ممكن است خود به سوي الگوريتم سازي سوق داده شود.
2- مسايل حرفي متنوع تر، جذاب تر، واقعي تر و بعضاً دشواري تري از آنچه امروزه معمول است در اختيار دانش آموزان قرار گيرد. درك و فهم مفاهيم رياضي در سطح مدرسه، در ميدان به كارگيري آنها در مسايل ملموس و قابل فهم تحقق مي يابد.
3- تقويت شم عددي دانش آموز كه در حال حاضر بهايي به آن داده نمي شود، به طور جدي مطرح گردد. دانش آموز بايد ياد بگيرد كه حدود نتيجه يك محاسبه را قبل از انجام دقيق آن حدس بزند و با بتواند از عهده تخمين هايي برآيد
+ نوشته شده در یکشنبه بیست و نهم آذر ۱۳۹۴ ساعت 0:32 توسط آزمایشی
|